【題目】對n個互不相等的正整數(shù),其中任意六個數(shù)中都至少存在兩個數(shù),使得其中一個能整除另一個.求n的最小值,使得在這n個數(shù)中一定存在六個數(shù),其中一個能被另外五個整除.
【答案】見解析
【解析】
所求的最小正整數(shù)n=26.
分兩步證明.
第一步 當(dāng)n≤25時不滿足題意,構(gòu)造如下的25個正整數(shù):
;
一方面,把這25個正整數(shù)分成五組.則任意選取六個數(shù)都一定會有兩個數(shù)在同一組.顯然,在同一組中的這兩個數(shù)中的一個能整除另一個.
另一方面,由于每一組數(shù)只有5個,因此,所選的六個數(shù)必然至少選自兩組數(shù),即在所選的六個數(shù)中不存在其中一個能被另五個整除的數(shù),所以,當(dāng)n=25時不滿足題意.
對于n<25,也可類似地證明.
第二步 當(dāng)n=26時滿足題意.
如果一數(shù)組中的數(shù)都在所給定的26個正整數(shù)中,將其中最大一個記為a,除a外的25個數(shù)中沒有a的倍數(shù),且這25個數(shù)中所有a的約數(shù)都在這組數(shù)中,則稱這個數(shù)組為“好數(shù)組”(一個好數(shù)組中的數(shù)可以只有一個).
接下來證明:這樣的好數(shù)組至多有五個.否則,必存在六個好數(shù)組.
考慮這六個好數(shù)組中的最大數(shù),分別記為a、b、c、d、e、f由題意知這六個數(shù)中必然存在一個能整除另一個,不妨記為,即a的約數(shù)b不在a所在的好數(shù)組中.
這與好數(shù)組的定義不符,故好數(shù)組至多有五個.
由于好數(shù)組至多有五個,而所給的正整數(shù)有26個,因此,至少存在一個好數(shù)組中有六個數(shù)
考慮這個好數(shù)組中的最大數(shù).由好數(shù)組的定義知,這個數(shù)組中至少另有五個數(shù)都能整除該數(shù)
綜上,所求的最小正整數(shù)n=26.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年春節(jié)期間,隨著新型冠狀病毒肺炎疫情在全國擴(kuò)散,各省均啟動重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級響應(yīng),采取了一系列有效的防控措施.如測量體溫、有效隔離等.
(1)現(xiàn)從深圳市某社區(qū)的體溫登記表中隨機(jī)采集100個樣本.據(jù)分析,人群體溫近似服從正態(tài)分布.若表示所采集100個樣本的數(shù)值在之外的的個數(shù),求及X的數(shù)學(xué)期望.
(2)疫情期間,武漢大學(xué)中南醫(yī)院重癥監(jiān)護(hù)室(ICU)主任彭志勇團(tuán)隊對138例確診患者進(jìn)行跟蹤記錄.為了分析并發(fā)癥(complications)與重癥患者(ICU)有關(guān)的可信程度,現(xiàn)從該團(tuán)隊發(fā)表在國際頂級醫(yī)學(xué)期刊JAMA《美國醫(yī)學(xué)會雜志》研究論文中獲得相關(guān)數(shù)據(jù).請將下列2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下認(rèn)為“重癥患者與并發(fā)癥有關(guān)”?
附:若,則,,,.
參考公式與臨界值表:,其中.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某支教隊有8名老師,現(xiàn)欲從中隨機(jī)選出2名老師參加志愿活動,
(1)若規(guī)定選出的至少有一名女老師,則共有18種不同的需安排方案,試求該支教隊男、女老師的人數(shù);
(2)在(1)的條件下,記為選出的2位老師中女老師的人數(shù),寫出的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題:函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn);命題:若函數(shù)為偶函數(shù),則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則下列命題為真命題的是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本,并稱出它們的重量(單位:克),重量值落在內(nèi)的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.
注:表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
產(chǎn)品重量(克) | 頻數(shù) |
6 | |
8 | |
14 | |
8 | |
4 |
(1)根據(jù)上面表1中的數(shù)據(jù)在圖2中作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖;
(2)若以頻率作為概率,試估計從兩條流水線上分別任取1件產(chǎn)品,該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少;
(3)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并回答有多大的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān).
甲流水線 | 乙流水線 | 合計 | |
合格 | |||
不合格 | |||
合計 |
參考公式:,其中
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)試判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究經(jīng)常使用手機(jī)是否對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響,某校高二數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了調(diào)查,隨機(jī)抽取高二年級50名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測試成績,并制成下面的2×2列聯(lián)表:
及格 | 不及格 | 合計 | |
很少使用手機(jī) | 20 | 5 | 25 |
經(jīng)常使用手機(jī) | 10 | 15 | 25 |
合計 | 30 | 20 | 50 |
則有( 。┑陌盐照J(rèn)為經(jīng)常使用手機(jī)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響.
參考公式:,其中
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
A.97.5%B.99%C.99.5%D.99.9%
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)銳角△ABC的外接圓上的任意一點(diǎn)P所對應(yīng)的西姆松線為,P的對徑點(diǎn)為,與的交點(diǎn)為。證明:對上兩點(diǎn)P、Q,當(dāng)且僅當(dāng)時,關(guān)于點(diǎn)N對稱,其中,N為△ABC的九點(diǎn)圓的圓心。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:.
(1)若拋物線的焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)重合,求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若的上頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)及軸上一點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若為的中心,為上一點(diǎn)(非的頂點(diǎn)),過的左頂點(diǎn),作,交軸于點(diǎn),交于點(diǎn),求證:.
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