【題目】全體非負(fù)整數(shù)0，1，2，…，按其自然順序組成一個(gè)小數(shù) 456 789 101 112 131 415 161 718 19 ….問：是否為無理數(shù)？證明你的結(jié)論.

【答案】見解析

【解析】

是無理數(shù).

首先，由自然數(shù)有無窮多知為無限小數(shù)，只須正明其不是循環(huán)小數(shù)（用反證法）.

若不然，設(shè)為有理數(shù)，即為無限循環(huán)小數(shù)，記是第1個(gè)最短循環(huán)節(jié)，而這個(gè)循環(huán)節(jié)之前是一個(gè)位小數(shù)0.，有.

由的構(gòu)成，知，且，，…，不全相等.特別地，，，…，不能全是9.

現(xiàn)將循環(huán)節(jié)接長(zhǎng)，使其數(shù)碼的個(gè)數(shù)超過，即取，找出由個(gè)循環(huán)節(jié)組成的自然數(shù)，并在中找出的原始位置.

由，知該位置一定出現(xiàn)在的后面，即.

考慮的后繼自然數(shù).

一方面，由中的各個(gè)數(shù)碼不全為9，知仍由個(gè)數(shù)碼組成，即

，

無論是否進(jìn)位，個(gè)位數(shù)都不會(huì)等于.

另一方面，由循環(huán)小數(shù)知的后面個(gè)數(shù)不變，產(chǎn)生矛盾：.

所以，必為無理數(shù).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線的普通方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；

（2）直線與曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知命題：函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)；命題：若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列命題為真命題的是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了研究經(jīng)常使用手機(jī)是否對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響，某校高二數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取高二年級(jí)50名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測(cè)試成績(jī)，并制成下面的2×2列聯(lián)表：

及格

不及格

合計(jì)

很少使用手機(jī)

20

5

25

經(jīng)常使用手機(jī)

10

15

25

合計(jì)

30

20

50

則有（　�。┑陌盐照J(rèn)為經(jīng)常使用手機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響．

參考公式:，其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

A.97.5%B.99%C.99.5%D.99.9%

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解某苗圃基地的柏樹幼苗生長(zhǎng)情況，在這些樹苗中隨機(jī)抽取了120株測(cè)量高度（單位：cm），經(jīng)統(tǒng)計(jì)，樹苗的高度均在區(qū)間內(nèi)，將其按，，，，， 分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.據(jù)當(dāng)?shù)匕貥涿缟L(zhǎng)規(guī)律，高度不低于27cm的為優(yōu)質(zhì)樹苗.

（1）求圖中的值；

（2）用樣本估計(jì)總體，頻率代替概率，若從這批樹苗中隨機(jī)抽取4株，其中優(yōu)質(zhì)樹苗的株數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)銳角△ABC的外接圓上的任意一點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的西姆松線為，P的對(duì)徑點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為。證明:對(duì)上兩點(diǎn)P、Q，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱，其中，N為△ABC的九點(diǎn)圓的圓心。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸．已知曲線的極坐標(biāo)方程為，是上一動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)的軌跡為．

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程，并化為直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），直線與曲線的交點(diǎn)為，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四面體中，，分別是的中點(diǎn)。一只甲蟲欲從點(diǎn)出發(fā)，沿四面體表面爬行到點(diǎn)。為使爬行的路程最短，則它必須攀越的棱是（）。

A. B. C. D.

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