【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,已知過點(diǎn)且斜率為1的直線與曲線:(是參數(shù))交于兩點(diǎn),與直線:交于點(diǎn).
(1)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若的中點(diǎn)為,比較與的大小關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1);(2),詳見解析
【解析】
(1)將方程消參得到,即為曲線C的普通方程,利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,將化為,即為直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)聯(lián)立消去y得,設(shè)點(diǎn),,則由中點(diǎn)公式,得點(diǎn)M的坐標(biāo)是,由韋達(dá)定理得到點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4,3),聯(lián)立,求得點(diǎn)N的坐標(biāo)是,應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式和弦長(zhǎng)公式求得與的值,比較可得結(jié)果.
(1)由得:
,
故曲線C的普通方程是;
由及公式得,
故直線的直角坐標(biāo)方程是.
(2)因?yàn)橹本過點(diǎn)且斜率為1,
所以根據(jù)點(diǎn)斜式得,直線的方程為,即.
曲線C:是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,
聯(lián)立消去y得.
設(shè)點(diǎn),,則由中點(diǎn)公式,得點(diǎn)M的坐標(biāo)是.
由韋達(dá)定理,得,,所以,
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4,3).
聯(lián)立解得,故點(diǎn)N的坐標(biāo)是.
所以由兩點(diǎn)間的距離公式,得.
所以由弦長(zhǎng)公式,得弦長(zhǎng).
因?yàn)?/span>,
所以.故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某社區(qū)組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的知識(shí)競(jìng)賽,從參加競(jìng)賽的市民中抽出40人,將其成績(jī)分成以下6組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,第6組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從第2,3,4組中按分層抽樣抽取8人,則第2,3,4組抽取的人數(shù)依次為( )
A.1,3,4B.2,3,3C.2,2,4D.1,1,6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)據(jù)的收集和整理在當(dāng)今社會(huì)起到了舉足輕重的作用,它用統(tǒng)計(jì)的方法來幫助人們分析以往的行為習(xí)慣,進(jìn)而指導(dǎo)人們接下來的行動(dòng).
某支足球隊(duì)的主教練打算從預(yù)備球員甲、乙兩人中選一人為正式球員,他收集到了甲、乙兩名球員近期5場(chǎng)比賽的傳球成功次數(shù),如下表:
場(chǎng)次 | 第一場(chǎng) | 第二場(chǎng) | 第三場(chǎng) | 第四場(chǎng) | 第五場(chǎng) |
甲 | 28 | 33 | 36 | 38 | 45 |
乙 | 39 | 31 | 43 | 39 | 33 |
(1)根據(jù)這兩名球員近期5場(chǎng)比賽的傳球成功次數(shù),完成莖葉圖(莖表示十位,葉表示個(gè)位);分別在平面直角坐標(biāo)系中畫出兩名球員的傳球成功次數(shù)的散點(diǎn)圖;
(2)求出甲、乙兩名球員近期5場(chǎng)比賽的傳球成功次數(shù)的平均值和方差;
(3)主教練根據(jù)球員每場(chǎng)比賽的傳球成功次數(shù)分析出球員在場(chǎng)上的積極程度和技術(shù)水平,同時(shí)根據(jù)多場(chǎng)比賽的數(shù)據(jù)也可以分析出球員的狀態(tài)和潛力.你認(rèn)為主教練應(yīng)選哪位球員?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線l過A,B兩點(diǎn),且這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為.
(I)求C的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(II)若M為曲線C上一動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)M到直線l的最小距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0<α<π),曲線C2的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)分別為A,B,M(﹣2,0),求|MA|2+|MB|2的最大值及此時(shí)直線C1的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在處導(dǎo)數(shù)相等,證明:為定值,并求出該定值;
(2)已知對(duì)于任意,直線與曲線有唯一公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E:(),它的上,下頂點(diǎn)分別為A,B,左,右焦點(diǎn)分別為,,若四邊形為正方形,且面積為2.
(Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線,,它們與橢圓E分別交于點(diǎn)C,D,M,N,且四邊形是菱形,求出該菱形周長(zhǎng)的最大值.
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