【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0<α<π),曲線C2的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線C2的極坐標方程;
(2)設(shè)曲線C1與曲線C2的交點分別為A,B,M(﹣2,0),求|MA|2+|MB|2的最大值及此時直線C1的傾斜角.
【答案】(1)ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣1=0;(2)最大值10,
【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換,進一步利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.
(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換及余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.
解:(1)曲線C2的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),
轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為(x+1)2+(y﹣1)2=3.
轉(zhuǎn)換為極坐標方程為ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣1=0.
(2)把直線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0<α<π),代入(x+1)2+(y﹣1)2=3,
得到(﹣2+tcosα+1)2+(tsinα﹣1)2=3,
整理得t2﹣2(sinα+cosα)t﹣1=0,
所以t1+t2=2(cosα+sinα),t1t2=﹣1,
則:|MA|2+|MB|24(1+2sinαcosα)+2=4sin2α+6,
當時,|MA|2+|MB|2的最大值10.
此時直線C1的傾斜角為.
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【題目】如圖,真四棱柱的底面是菱形,,,,E,M,N分別是BC,,的中點.
(1)證明:面;
(2)求平面DMN與平面所成銳角的正切值.
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【題目】給出以下四個命題:
①數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).
②在面積為S的的邊AB上任取一點P,則的面積大于的概率為.
③將多項式分解因式得,則.
④若那么由,那么由以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方.
其中正確命題的序號為_____________(把所有正確命題的序號都填上)
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【題目】2020年初,我國突發(fā)新冠肺炎疫情.面對“突發(fā)災(zāi)難”,舉國上下心,繼解放軍醫(yī)療隊于除夕夜飛抵武漢,各省醫(yī)療隊也陸續(xù)增援,紛紛投身疫情防控與病人救治之中.為分擔“逆行者”的后顧之憂,某大學(xué)學(xué)生志愿者團隊開展“愛心輔學(xué)”活動,為抗疫前線工作者子女在線輔導(dǎo)功課.現(xiàn)隨機安排甲、乙、丙3名志愿者為某學(xué)生輔導(dǎo)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物4門學(xué)科,每名志愿者至少輔導(dǎo)1門學(xué)科,每門學(xué)科由1名志愿者輔導(dǎo),則數(shù)學(xué)學(xué)科恰好由甲輔導(dǎo)的概率為______.
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【題目】以平面直角坐標系的原點為極點,軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系,已知過點且斜率為1的直線與曲線:(是參數(shù))交于兩點,與直線:交于點.
(1)求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程;
(2)若的中點為,比較與的大小關(guān)系,并說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點,求的取值范圍.
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【題目】高三數(shù)學(xué)考試中,一般有一道選做題,學(xué)生可以從選修4-4和選修4-5中任選一題作答,滿分10分.某高三年級共有1000名學(xué)生參加了某次數(shù)學(xué)考試,為了了解學(xué)生的作答情況,計劃從該年級1000名考生成績中隨機抽取一個容量為10的樣本,為此將1000名考生的成績按照隨機順序依次編號為000~999.
(1)若采用系統(tǒng)抽樣法抽樣,從編號為000~999的成績中隨機確定的編號為026,求樣本中的最大編號.
(2)若采用分層抽樣法,按照學(xué)生選擇選修4-4或選修4-5的情況將成績分為兩層,已知該校共有600名考生選擇了選修4-4,400名考生選擇了選修4-5,在選取的樣本中,選擇選修4-4的平均得分為6分,方差為2,選擇選修4-5的平均得分為5分,方差為0.75.用樣本估計該校1000名考生選做題的平均得分和得分的方差.
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