【題目】如圖，真四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分別是BC，，的中點(diǎn).

（1）證明：面；

（2）求平面DMN與平面所成銳角的正切值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）

【解析】

（1）由余弦定理可得，進(jìn)而可得，由正棱柱的幾何特征可得，由線(xiàn)面垂直的判定即可得解；

（2）連接ME，由題意可得四邊形DNME為平行四邊形，DE即為平面DMN與平面的交線(xiàn)，由線(xiàn)面垂直的判定可得面，進(jìn)而可得即為平面DMN與平面所成的平面角，即可得解.

（1）證明：∵在菱形ABCD中，，，且E為BC中點(diǎn)，

∴，∴即，

又棱柱是直四棱柱，∴平面，∴，

又平面，平面，,

∴面；

（2）連接ME，

∵E，M，N分別是BC，，的中點(diǎn)，

∴且，

∴且，∴四邊形DNME為平行四邊形，

從而可知：DE即為面DMN與面的交線(xiàn)，

∵，，，∴面，

∴且，

則即為平面DMN與平面所成的平面角，

在中，，

故平面DMN與平面所成銳角的正切值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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男性消費(fèi)金額頻數(shù)分布表

消費(fèi)金額

（單位：元）

0~500

500~1000

1000~1500

1500~2000

2000~3000

人數(shù)

15

15

20

30

20

（1）試分別計(jì)算男性、女性在此活動(dòng)中的平均消費(fèi)金額；

（2）如果分別把男性、女性消費(fèi)金額與中位數(shù)相差不超過(guò)200元的消費(fèi)稱(chēng)作理性消費(fèi)，試問(wèn)是否有5成以上的把握認(rèn)為理性消費(fèi)與性別有關(guān).

附：

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

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【題目】2016年春節(jié)期間全國(guó)流行在微信群里發(fā)、搶紅包，現(xiàn)假設(shè)某人將688元發(fā)成手氣紅包50個(gè)，產(chǎn)生的手氣紅包頻數(shù)分布表如表：

（I）求產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率；

（Ⅱ）估計(jì)手氣紅包金額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（Ⅲ）在這50個(gè)紅包組成的樣本中，將頻率視為概率．

（i）若紅包金額在區(qū)間[21，25]內(nèi)為最佳運(yùn)氣手，求搶得紅包的某人恰好是最佳運(yùn)氣手的概率；

（ii）隨機(jī)抽取手氣紅包金額在[1，5）∪[﹣21，25]內(nèi)的兩名幸運(yùn)者，設(shè)其手氣金額分別為m，n，求事件“|m﹣n|＞16”的概率．

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