【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣2mx﹣n(0<x<1),其中m,n∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)試討論函數(shù)f(x)的極值;
(2)記函數(shù)g(x)=ex﹣mx2﹣nx﹣1(0<x<1),且g(x)的圖象在點(diǎn)處的切的斜率為,若函數(shù)g(x)存在零點(diǎn),試求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)求導(dǎo)后對的取值分類,注意在定義域內(nèi),得函數(shù)有無極值,且求出極值;
(2)求導(dǎo)得到等于,求出在處的導(dǎo)數(shù)值,既是在處的切線的斜率,由題意得的關(guān)系,然后討論的范圍使存在零點(diǎn),進(jìn)而求出的范圍.
(1) ,①當(dāng)2m≤1時,即時,1exe,∴ ,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,f(x)無極值;
②當(dāng)2m≥e時,即時, ,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,f(x)無極值;
③當(dāng)<e時,,x=ln2e,當(dāng)時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)1xln2e時,,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以(0,1)上函數(shù)f(x)有極大值,無極小值,且極大值為f(ln2e)=2e﹣2mln2e﹣n;
綜上:當(dāng)或,函數(shù)f(x)無極值;
當(dāng)<e時,f(x)的極小值為2m﹣2mln2m﹣n,無極大值;
(2)由題意得:g'(x)=ex﹣2mx﹣n,
g(x)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1﹣,
而g'﹣n,所以m+n=e﹣1,
∴n=e﹣1﹣m,g(x)=ex﹣mx2﹣(e﹣m﹣1)x﹣1,
所以g(0)=0,g(1)=e﹣m﹣(e﹣m﹣1)﹣1=0,
設(shè)x0為g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn),則g(0)g(x0)=0,
可知g(x)在區(qū)間(0,x0)內(nèi)不可能單調(diào)遞增,也不可能單調(diào)遞減,
故g'(x)不可能恒為正,也不可能恒為負(fù),故g(x)在(0,x0)內(nèi)存在零點(diǎn)x1,在區(qū)間(x0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)x2,所以g'(x)=f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有兩個零點(diǎn),
由(1)知當(dāng)時,g'(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞增,
故g'(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至多有一個零點(diǎn);
當(dāng)時,g'(x)在區(qū)間(0,ln2m)內(nèi)單調(diào)遞減,(ln2m,1)內(nèi)單調(diào)遞增,
所以x1∈0,ln2m),x2∈(ln2m,1),
則g'(0)=1﹣(e﹣m﹣1)0,g'(1)=e﹣2m﹣(e﹣m﹣1)0,
g'(ln2m)=2m﹣2mln2m﹣n=3m﹣2mln2m+1﹣e0,
令h(x)﹣xlnx+1﹣e,(),
則h'(x),令h'(x)=0,則得,
當(dāng)1時,h'(x) ,g(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)時,h'(x)0,h(x)單調(diào)遞減,
所以h(x)最大值=h(1﹣;所以g'(ln2m)0恒成立,
由得,
綜上,實數(shù)m的取值范圍(e﹣2,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且對任意的實數(shù)x都有(e是自然對數(shù)的底數(shù)),且,若關(guān)于x的不等式的解集中恰有兩個整數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】定義函數(shù)f(x)=(1﹣x2)(x2+bx+c).
(1)如果f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱,求2b+c的值;
(2)若x∈[﹣1,1],記|f(x)|的最大值為M(b,c),當(dāng)b、c變化時,求M(b,c)的最小值.
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【題目】如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD=1,AD=2,點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上,且EF∥CD,將△AEF沿EF折起到△MEF的位置,并使平面MEF⊥平面BCDFE,得到幾何體M﹣BCDEF,則折疊后的幾何體的體積的最大值為_____.
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【題目】已知橢圓的離心率為,點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知斜率存在又不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與圓相切,且與橢圓交于兩點(diǎn).探究:在橢圓上是否存在點(diǎn),使得,若存在,請求出實數(shù)的取值范圍,若不存在,請說明理由.
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【題目】某大學(xué)棋藝協(xié)會定期舉辦“以棋會友”的競賽活動,分別包括“中國象棋”、“圍棋”、“五子棋”、“國際象棋”四種比賽,每位協(xié)會會員必須參加其中的兩種棋類比賽,且各隊員之間參加比賽相互獨(dú)立;已知甲同學(xué)必選“中國象棋”,不選“國際象棋”,乙同學(xué)從四種比賽中任選兩種參與.
(1)求甲參加圍棋比賽的概率;
(2)求甲、乙兩人參與的兩種比賽都不同的概率.
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【題目】已知是拋物線的焦點(diǎn),恰好又是雙曲線的右焦點(diǎn),雙曲線過點(diǎn),且其離心率為.
(1)求拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知直線過點(diǎn),且與拋物線交于,兩點(diǎn),以為直徑作圓,設(shè)圓與軸交于點(diǎn),,求的最大值.
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【題目】已知函數(shù)=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a﹤0時,證明.
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