【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)若且恒成立,求的最大值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,且取得最大值時,設(shè),且函數(shù)有兩個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并證明:
【答案】(Ⅰ)答案見解析;(Ⅱ)當(dāng)時, 最大為;(Ⅲ)證明過程見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù),分類討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;(Ⅱ)當(dāng)b>0時,由(Ⅰ)得,即可求的最大值;(Ⅲ) ,構(gòu)造函數(shù),得出當(dāng)x→0(x>0)時,
F(x)→-∞;x→+∞時,F(xiàn)(x)→-m,再用分析法進(jìn)行證明即可.
試題解析:(Ⅰ)
當(dāng)時, 恒成立,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,無極值;
當(dāng)時, 時, 時,,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,增區(qū)間為,有極小值;
(Ⅱ)當(dāng)時,由(Ⅰ)得,
即當(dāng)時, 最大為
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當(dāng)取最大值1時, ,記,
,不妨設(shè),由題意,則, ,欲證明,只需證明,只需證明,
即證明,即證,設(shè),則只需證明,也就是證明,記,所以,所以在單調(diào)遞增,所以,所以原不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,圓的極坐標(biāo)方程為,若以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系
(1)求圓的參數(shù)方程;
(2)在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是圓上的動點(diǎn),試求的最大值,并求出此時點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(3)已知為參數(shù)),曲線為參數(shù)),若版曲線上各點(diǎn)恒坐標(biāo)壓縮為原來的倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍,得到曲線,設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個動點(diǎn),求它到直線距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究”中學(xué)生使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)的影響”.部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
參考數(shù)據(jù):
參考公式: ,其中
(Ⅰ)試根據(jù)以上數(shù)據(jù),運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)思想,指出有多大把握認(rèn)為中學(xué)生使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響?
(Ⅱ)研究小組將該樣本中使用智能手機(jī)且成績優(yōu)秀的4位同學(xué)記為組,不使用智能手機(jī)且成績優(yōu)秀的8位同學(xué)記為組,計劃從組推選的2人和組推選的3人中,隨機(jī)挑選兩人在學(xué)校升旗儀式上作“國旗下講話”分享學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).求挑選的兩人恰好分別來自、兩組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面給出了四個類比推理:
(1)由“若則”類比推出“若為三個向量則”;
(2)“a,b為實(shí)數(shù),則a=b=0”類比推出“為復(fù)數(shù),若”
(3)“在平面內(nèi),三角形的兩邊之和大于第三邊”類比推出“在空間中,四面體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積”
(4)“在平面內(nèi),過不在同一條直線上的三個點(diǎn)有且只有一個圓”類比推出“在空間中,過不在同一個平面上的四個點(diǎn)有且只有一個球”.
上述四個推理中,結(jié)論正確的個數(shù)有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,離心率為,兩焦點(diǎn)分別為,過的直線交橢圓于兩點(diǎn),且的周長為8.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn),求弦長的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案,俗稱陰陽魚,太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化,相對統(tǒng)一的和諧美,定義:能夠?qū)A的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓的一個“太極函數(shù)”,則下列有關(guān)說法中:
①對于圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中,一定不能為偶函數(shù);
②函數(shù)是圓的一個太極函數(shù);
③存在圓,使得是圓的一個太極函數(shù);
④直線所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓的太極函數(shù);
⑤若函數(shù)是圓的太極函數(shù),則
所有正確的是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某批產(chǎn)品中,有放回地抽取產(chǎn)品兩次,每次隨機(jī)抽取1件,假設(shè)事件A:“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”,其概率P(A)=0.96.
(1)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p.
(2)若該批產(chǎn)品共100件,從中無放回抽取2件產(chǎn)品,ξ表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù).求ξ的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)從某學(xué)校高一年級男生中隨機(jī)抽取50名測量身高,測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生身高全部介于和之間,將測量結(jié)果按如下方式分成6組:第1組,第2組,…,第6組,下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)求這50名男生身高的中位數(shù),并估計該校高一全體男生的平均身高;
(2)求這50名男生當(dāng)中身高不低于176的人數(shù),并且在這50名身高不低于176的男生中任意抽取2人,求這2人身高都低于180的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015年7月9日21時15分,臺風(fēng)“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸,造成165.17萬人受災(zāi), 5.6萬人緊急轉(zhuǎn)移安置,288間房屋倒塌,46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi),直接經(jīng)濟(jì)損失12.99億元,距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺風(fēng)的影響,適逢暑假,小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成, , , , 五組,并作出如下頻率分布直方圖(圖1):
(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計小區(qū)平均每戶居民的平均損失;
(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)小明向班級同學(xué)發(fā)出倡議,為該小區(qū)居民捐款,現(xiàn)從損失超過6000元的居民中隨機(jī)
抽出2戶進(jìn)行捐款援助,求抽出的2戶居民損失均超過8000元的概率;
(3)臺風(fēng)后區(qū)委會號召該小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如下表,
在圖2表格空白外填寫正確數(shù)字,并說明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額超過或
不超過500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否超過4000元有關(guān)?
經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元 | 經(jīng)濟(jì)損失超過4000元 | 合計 | |
捐款超過500元 | 30 | ||
捐款不超過500元 | 6 | ||
合計 |
附:臨界值參考公式: , .
0.15 | 0.10 | 0.05 /td> | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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