【題目】已知橢圓，離心率為，兩焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作圓的切線交橢圓于兩點，求弦長的最大值．

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）求橢圓標準方程，一般利用待定系數(shù)法，即根據(jù)條件列兩個獨立方程：一是離心率，二是橢圓定義：的周長為，解方程組得，（2）涉及弦長問題，一般利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結合韋達定理和弦長公式求弦長：設切線的方程為，則，再根據(jù)直線與圓相切得，即，代入化簡得，最后利用基本不等式求最值

試題解析：（1）由題得：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

又，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

即橢圓的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由題意知，，設切線的方程為，

由，得．．．．．．．．．．．．．．．7分

設，

則．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

，

由過點的直線與圓相切得，即，

所以．．．．11分

，

當且僅當時，，所以的最大值為2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當時，討論函數(shù)的單調性；

（2）當時，求證：對任意的.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若曲線與有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一種飲料每箱裝有6聽，經(jīng)檢測，某箱中每聽的容量（單位：ml）如以下莖葉圖所示.

（Ⅰ）求這箱飲料的平均容量和容量的中位數(shù)；

（Ⅱ）如果從這箱飲料中隨機取出2聽飲用，求取到的2聽飲料中至少有1聽的容量為250ml的概率

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線在點處的切線方程和函數(shù)的極值：

（2）若對任意，都有成立，求實數(shù)的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調區(qū)間與極值；

（Ⅱ）若且恒成立，求的最大值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，且取得最大值時，設，且函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍，并證明：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

(1) 時，求函數(shù)的單調區(qū)間

討論函數(shù)在定義域內的極值點的個數(shù)；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線經(jīng)過點，且圓的圓心到的距離為.

（1）求直線被該圓所截得的弦長；

（2）求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的直三棱柱中，，分別是，的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若,,,求直線與平面所成角的正切值.

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