Question

【題目】在如圖所示的直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若,,,求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，.，推導(dǎo)出，從而平面.

；再推導(dǎo)出平面，進(jìn)而平面平面.由此能證明平面．（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接，，可推導(dǎo)出平面平面，點(diǎn)在平面上的射影在上，所以即為直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的正切值.

試題解析：

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，.

在中，因?yàn)?/span>，分別為，的中點(diǎn)，所以,平面，平面，所以平面.

在矩形中，因?yàn)?/span>,分別為,的中點(diǎn)，

所以，平面，平面,所以平面.

因?yàn)?/span>，所以平面平面.

因?yàn)?/span>平面，故 平面；

（Ⅱ）因?yàn)槿�棱�?/span>為直三棱柱，所以,

又，，所以平面.

因?yàn)?/span>，，所以，

又，所以為正三角形，

所以，所以.

取的中點(diǎn)，連接，，所以,,所以平面，

所以平面平面，點(diǎn)在平面上的射影在上，

所以即為直線與平面所成角.

在中，，所以.