Question

【題目】在極坐標系中，圓的極坐標方程為，若以極點為原點，極軸所在的直線為軸建立平面直角坐標系

（1）求圓的參數(shù)方程；

（2）在直角坐標系中，點是圓上的動點，試求的最大值，并求出此時點的直角坐標；

（3）已知為參數(shù)），曲線為參數(shù)），若版曲線上各點恒坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線，設(shè)點是曲線上的一個動點，求它到直線距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）為參數(shù)）；（2）最大值為時，點的直角坐標為；（3）.

【解析】試題分析：

(1)圓的普通方程為，所以所求圓的參數(shù)方程為為參數(shù)）.

(2) 設(shè)，代入

整理可知則關(guān)于的方程必有實數(shù)根，

所以，解得，即的最大值為11，

故的最大值為時，點的直角坐標為.

(3)點的坐標是， ，

當時， 取得最小值， .

試題解析：（1）因為，所以，

即為圓的普通方程，

所以所求圓的參數(shù)方程為為參數(shù)）.

（2）設(shè)，得代入

整理得，則關(guān)于的方程必有實數(shù)根，

所以，化簡得，

解得，即的最大值為11，

將代入方程，得，解得，代入得，

故的最大值為時，點的直角坐標為.

（3）的參數(shù)方程為為參數(shù)），故點的坐標是，

從而點到直線的距離是，

由此當時， 取得最小值，且最小值為.