Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)為，，左焦點(diǎn)為，則是正三角形，可得，進(jìn)而將代入橢圓方程，可求出的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，并消去得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，，由以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，可得，將其展開(kāi)并結(jié)合韋達(dá)定理，可求得，即直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，進(jìn)而，結(jié)合韋達(dá)定理，求出最大值即可.

（1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)為，，左焦點(diǎn)為，

則是正三角形，所以，則橢圓方程為.

將代入橢圓方程，可得，解得，.

故橢圓的方程為.

（2）由題意，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立，消去得.

設(shè)，，則有，，

因?yàn)橐跃�(xiàn)段為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，所以，

由，，則，

將，代入上式并整理得，

則，化簡(jiǎn)得，

解得或，

因?yàn)橹本�(xiàn)不過(guò)點(diǎn)，所以，故.

所以直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn).

故，

設(shè)，則在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，

所以面積的最大值為.