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【題目】已知橢圓的一個焦點與短軸的兩端點組成一個正三角形的三個頂點，且橢圓經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓交于，兩點，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點，求面積的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設橢圓的上下頂點為，，左焦點為，則是正三角形，可得，進而將代入橢圓方程，可求出的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設直線的方程為，與橢圓方程聯立，并消去得到關于的一元二次方程，設，，由以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點，可得，將其展開并結合韋達定理，可求得，即直線恒過點，進而，結合韋達定理，求出最大值即可.

（1）根據題意，設橢圓的上下頂點為，，左焦點為，

則是正三角形，所以，則橢圓方程為.

將代入橢圓方程，可得，解得，.

故橢圓的方程為.

（2）由題意，設直線的方程為，

聯立，消去得.

設，，則有，，

因為以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點，所以，

由，，則，

將，代入上式并整理得，

則，化簡得，

解得或，

因為直線不過點，所以，故.

所以直線恒過點.

故，

設，則在上單調遞增，

當時，，

所以面積的最大值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點，過其準線與軸的交點作直線，

（1）若直線與拋物線相切于點，則=_____________.

（2）設，若直線與拋物線交于點，且，則=_____________.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）把曲線向下平移個單位，然后各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍得到曲線（縱坐標不變），設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某市教育部門為研究高中學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系，對該市某校200名高中學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間進行調查，數據如下表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）

平均每天鍛煉的時間(分鐘)

總人數

20

36

44

50

40

10

將學生日均課外體育運動時間在上的學生評價為“課外體育達標”.

（1）請根據上述表格中的統(tǒng)計數據填寫下面列聯表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關？

課外體育不達標

課外體育達標

合計

男

女

20

110

合計

（2）從上述課外體育不達標的學生中，按性別用分層抽樣的方法抽取10名學生，再從這10名學生中隨機抽取3人了解他們鍛煉時間偏少的原因，記所抽取的3人中男生的人數為隨機變量為，求的分布列和數學期望.

（3）將上述調查所得到的頻率視為概率來估計全市的情況，現在從該市所有高中學生中，抽取4名學生，求其中恰好有2名學生是課外體育達標的概率.

參考公式：，其中.

參考數據：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，

（1）求的最大值；

（2）若對于任意的，不等式恒成立，求整數a的最小值.（參考數據，）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個焦點與短軸的兩端點組成一個正三角形的三個頂點，且橢圓經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓交于，兩點，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點，求面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，為正三角形，且，，將沿翻折.

（1）若點的射影在上，求的長；

（2）若點的射影在中，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長.

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【題目】

在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1,1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程；

(Ⅱ)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

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【題目】如圖，橢圓的右頂點為，左、右焦點分別為、，過點且斜率為的直線與軸交于點，與橢圓交于另一個點，且點在軸上的射影恰好為點．

（1）求點的坐標；

（2）過點且斜率大于的直線與橢圓交于兩點，若，求實數的取值范圍．

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