【題目】已知函數(shù),
(1)求的最大值;
(2)若對于任意的,不等式恒成立,求整數(shù)a的最小值.(參考數(shù)據(jù),)
【答案】(1)0;(2)3
【解析】
(1)先利用導數(shù)分析的單調(diào)性,即可求解;
(2)先構(gòu)造兩函數(shù)之差為,本題轉(zhuǎn)化為,從而需分析的單調(diào)性.當時,用特值法得,得到不合題意;當時,分析的單調(diào)性得,再令 ,利用單調(diào)遞減和特值確定當時,,得到整數(shù)a的最小值為3.
(1)
令,即,解得,令,即,
解得.∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
的最大值為.
(2)令
所以.
當時,因為,所以.
所以在上是遞增函數(shù),
又因為,
所以關于x的不等式不能恒成立.
當時,
令,得.
所以當時,;
當時,,
因此函數(shù)在是增函數(shù),在是減函數(shù).
故函數(shù)的最大值為,
令,
因為,,
且在是減函數(shù).
所以當時,.
所以整數(shù)a的最小值為3.
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【題目】已知橢圓,左、右頂點分別為,,上、下頂點分別為,,且,為等邊三角形,過點的直線與橢圓在軸右側(cè)的部分交于、兩點,為坐標原點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求面積的取值范圍.
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【題目】以坐標原點為極點,以軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線的極坐標方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)點在曲線上,且曲線在點處的切線與直線:垂直,求點的直角坐標;
(2)設直線與曲線有且只有一個公共點,求直線的斜率的取值范圍.
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【題目】某普通高中為了解本校高三年級學生數(shù)學學習情況,對一?荚嚁(shù)學成績進行分析,從中抽取了名學生的成績作為樣本進行統(tǒng)計(該校全體學生的成績均在),按下列分組,,,,,,,,作出頻率分布直方圖,如圖;樣本中分數(shù)在內(nèi)的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖:
根據(jù)往年錄取數(shù)據(jù)劃出預錄分數(shù)線,分數(shù)區(qū)間與可能被錄取院校層次如表.
(1)求的值及頻率分布直方圖中的值;
(2)根據(jù)樣本估計總體的思想,以事件發(fā)生的頻率作為概率,若在該校高三年級學生中任取人,求此人都不能錄取為專科的概率;
(3)在選取的樣本中,從可能錄取為自招和?苾蓚層次的學生中隨機抽取名學生進行調(diào)研,用表示所抽取的名學生中為自招的人數(shù),求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】已知橢圓的一個焦點與短軸的兩端點組成一個正三角形的三個頂點,且橢圓經(jīng)過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線與橢圓交于,兩點,且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點,求面積的最大值.
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【題目】天文學中為了衡量星星的明暗程度,古希臘天文學家喜帕恰斯(,又名依巴谷)在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數(shù)值越小,星星就越亮;星等的數(shù)值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度計在天體光度測量中的應用,英國天文學家普森()又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足.其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍,則與最接近的是(當較小時, )
A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27
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【題目】某教研機構(gòu)隨機抽取某校20個班級,調(diào)查各班關注漢字聽寫大賽的學生人數(shù),根據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖,以組距為5將數(shù)據(jù)分組成時,所作的頻率分布直方圖如圖所示,則原始莖葉圖可能是( )
A. B.
C. D.
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【題目】已知是拋物線的焦點,點在軸上,為坐標原點,且滿足,經(jīng)過點且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點,且.
(1)求拋物線的方程;
(2)直線與拋物線交于、兩點,若,求點到直線的最大距離.
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