【題目】某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度為,只要誤差的絕對(duì)值不超過(guò)就認(rèn)為合格,工廠質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件,檢測(cè)其長(zhǎng)度,繪制條形統(tǒng)計(jì)圖如圖:

1)估計(jì)該批次產(chǎn)品長(zhǎng)度誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望;

2)如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率,要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件,假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度產(chǎn)品的概率不小于0.8時(shí),該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求時(shí),生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的概率的最小值.

【答案】12

【解析】

1)根據(jù)題意即可寫出該批次產(chǎn)品長(zhǎng)度誤差的絕對(duì)值的頻率分布列,再根據(jù)期望公式即可求出;

2)由(1)可知,任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的概率為0.4,即可求出隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品,都不是標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度產(chǎn)品的概率,由對(duì)立事件的概率公式即可得到隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品,至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度產(chǎn)品的概率,判斷其是否符合生產(chǎn)要求;當(dāng)不符合要求時(shí),設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的概率為,可根據(jù)上述方法求出,解,即可得出最小值.

1)由柱狀圖,該批次產(chǎn)品長(zhǎng)度誤差的絕對(duì)值的頻率分布列為下表:

0

0.01

0.02

0.03

0.04

頻率

0.4

0.3

0.2

0.075

0.025

所以的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)為

.

2)由(1)可知任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的概率為0.4,設(shè)至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度產(chǎn)品為事件,則,故不符合概率不小于0.8的要求.

設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的概率為,

由題意,又,解得,

所以符合要求時(shí),生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的概率的最小值為.

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①對(duì)任意三點(diǎn)、、,都有;

②已知點(diǎn)和直線,則;

③到定點(diǎn)的距離和到切比雪夫距離相等的點(diǎn)的軌跡是正方形.

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(1)求的值;

(2)現(xiàn)從校全體同學(xué)中隨機(jī)抽取2人,以頻率作為概率,記表示成績(jī)不低于90分的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(3)另一機(jī)構(gòu)N也對(duì)該校學(xué)生做同樣的體質(zhì)達(dá)標(biāo)測(cè)試,并用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取了100名學(xué)生,經(jīng)測(cè)試有20名學(xué)生成績(jī)低于60分.計(jì)算兩家機(jī)構(gòu)測(cè)試成績(jī)的不達(dá)標(biāo)率,你認(rèn)為用哪一個(gè)值作為對(duì)該校學(xué)生體質(zhì)不達(dá)標(biāo)率的估計(jì)較為合理,說(shuō)明理由.

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1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;

2)把曲線向下平移個(gè)單位,然后各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到曲線(縱坐標(biāo)不變),設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線的距離的最小值.

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(3)將數(shù)列中的部分項(xiàng)按原來(lái)順序構(gòu)成新數(shù)列,且,求證:存在無(wú)數(shù)個(gè)滿足條件的無(wú)窮等比數(shù)列

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平均每天鍛煉的時(shí)間(分鐘)

總?cè)藬?shù)

20

36

44

50

40

10

將學(xué)生日均課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在上的學(xué)生評(píng)價(jià)為課外體育達(dá)標(biāo)”.

1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為課外體育達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)?

課外體育不達(dá)標(biāo)

課外體育達(dá)標(biāo)

合計(jì)

20

110

合計(jì)

2)從上述課外體育不達(dá)標(biāo)的學(xué)生中,按性別用分層抽樣的方法抽取10名學(xué)生,再?gòu)倪@10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人了解他們鍛煉時(shí)間偏少的原因,記所抽取的3人中男生的人數(shù)為隨機(jī)變量為,的分布列和數(shù)學(xué)期望.

3)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率來(lái)估計(jì)全市的情況,現(xiàn)在從該市所有高中學(xué)生中,抽取4名學(xué)生,求其中恰好有2名學(xué)生是課外體育達(dá)標(biāo)的概率.

參考公式:,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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1)求橢圓的方程;

2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且以線段為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),求面積的最大值.

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