Question

【題目】為了調(diào)查各校學(xué)生體質(zhì)健康達(dá)標(biāo)情況，某機(jī)構(gòu)M采用分層抽樣的方法從校抽取了名學(xué)生進(jìn)行體育測試，成績按照以下區(qū)間分為七組：[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并得到如下頻率分布直方圖．根據(jù)規(guī)定，測試成績低于60分為體質(zhì)不達(dá)標(biāo)．已知本次測試中不達(dá)標(biāo)學(xué)生共有20人．

（1）求的值；

（2）現(xiàn)從校全體同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，以頻率作為概率，記表示成績不低于90分的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）另一機(jī)構(gòu)N也對(duì)該校學(xué)生做同樣的體質(zhì)達(dá)標(biāo)測試，并用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取了100名學(xué)生，經(jīng)測試有20名學(xué)生成績低于60分．計(jì)算兩家機(jī)構(gòu)測試成績的不達(dá)標(biāo)率，你認(rèn)為用哪一個(gè)值作為對(duì)該校學(xué)生體質(zhì)不達(dá)標(biāo)率的估計(jì)較為合理，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為0.2；（3）用機(jī)構(gòu)M測試的不達(dá)標(biāo)率估計(jì)A校不達(dá)標(biāo)率較為合理，理由詳見解析．

【解析】

（1）由頻率分布直方圖知，，解方程可得的值；

（2）由圖知，每位學(xué)生成績不低于90分的頻率為，由已知的所有可能取值為，再根據(jù)二項(xiàng)分布，即可得答案；

（3）機(jī)構(gòu)M抽測的不達(dá)標(biāo)率為 ，機(jī)構(gòu)N抽測的不達(dá)標(biāo)率為，再從樣本能否較好反映總體的分布情況說明理由．

（1）由頻率分布直方圖知，，

解得．

（2）由圖知，每位學(xué)生成績不低于90分的頻率為 ，

由已知，的所有可能取值為，

則，

，

．

所以的分布列為

X	0	1	2
P	0.81	0.18	0.01

所以．

（3）機(jī)構(gòu)M抽測的不達(dá)標(biāo)率為 ，

機(jī)構(gòu)N抽測的不達(dá)標(biāo)率為．

（以下答案不唯一，只要寫出理由即可）

①用機(jī)構(gòu)M測試的不達(dá)標(biāo)率估計(jì)A校不達(dá)標(biāo)率較為合理．

理由：機(jī)構(gòu)M選取樣本時(shí)使用了分層抽樣方法，樣本量也大于機(jī)構(gòu)N，樣本更有代表性，所以，能較好反映了總體的分布．

②沒有充足的理由否認(rèn)機(jī)構(gòu)N的成績更合理．

理由：盡管機(jī)構(gòu)N的樣本量比機(jī)構(gòu)M少，但由于樣本的隨機(jī)性，不能排除樣本較好的反映了總體的分布，所以，沒有充足的理由否認(rèn)機(jī)構(gòu)N的成績更合理．