Question

【題目】已知函數(shù),,．

當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求出其極值；

若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（-1，0）．極大值為；極小值為f（0）=0．（2）（-∞，0）.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定單調(diào)區(qū)間與極值，（2）先求導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)k的值分五種情況分類討論，結(jié)合對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性以及極值正負(fù)確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即得結(jié)果.

解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，，

∴f'（x）=（x+1）ex-（x+1）=（x+1）（ex-1），

故x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；

x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；

x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù).

故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（-1，0）．

所以函數(shù)的極大值為；極小值為f（0）=0．

（2）由已知，，g（x）=kex-x，

∴，

∴F'（x）=kxex-x=x（kex-1）.

①當(dāng)k＜0時(shí)，F（x）在（-∞，0）為增，在（0，+∞）為減，且注意到F（0）=-k＞0，函數(shù)F（x）的圖象兩邊向下無限伸展，故此時(shí)F（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，適合題意．

②當(dāng)k=0時(shí)，在（-∞，0）為增，在（0，+∞）為減，且F（0）=0，故此時(shí)F（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．

③當(dāng)k=1時(shí)，,故函數(shù)（-∞，+∞）為增，易知函數(shù)F（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．

④當(dāng)k∈（0，1）時(shí)，，F（x）在（-∞，0）為增，為減，為增，且F（0）=-k＜0易知F（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．

⑤當(dāng)k∈（1，+∞）時(shí)，，F（x）在為增，為減，（0，+∞）為增，且，F（0）=-k＜0易知F（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上，k的取值范圍是（-∞，0）.