Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線、的斜率，，請(qǐng)問(wèn)是否為定值？若是定值，求出其定值；若不是，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值,且為

【解析】

（1）由的周長(zhǎng)為，得到，即.再由離心率求得，從而可得，得橢圓方程．

（2）直線l斜率不存在時(shí)，，直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元，可得，計(jì)算，并代入可得．這樣就得出結(jié)論．

（1）由的周長(zhǎng)為，得到，即.

又因?yàn)?/span>，所以，

故，

所以橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，

設(shè)直線的方程為，，，

把直線的方程代入，得，

則，，

因?yàn)?/span>，

而.

即．

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，即，

所以，即是定值.