【題目】已知函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1<x2),其中a為常數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)求證:x1+x2>2.
【答案】(1)a>1;(2)證明見解析.
【解析】
(1)轉(zhuǎn)化問題為有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得在上單調(diào)遞增,則,即轉(zhuǎn)化問題為有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),即,則,設(shè),則直線y=a與在x∈(0,+∞)有兩個(gè)交點(diǎn),進(jìn)而利用導(dǎo)函數(shù)求的最值,即可求解;
(2)由(1),若x1+x2>2,則g(x2)>g(2﹣x1),即g(x1)>g(2﹣x1),構(gòu)造函數(shù)F(x)=g(x)﹣g(2﹣x),進(jìn)而證明x∈(0,1)時(shí)F(x)>0即可.
(1)因?yàn)?/span>,
由題意知x1,x2是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn),
令,則,所以在上單調(diào)遞增,
又,所以,
所以x1,x2是的兩個(gè)零點(diǎn),即,則,
又令,則g(x1)=g(x2),
從而只需直線y=a與函數(shù)g(x)的圖象在x∈(0,+∞)上有兩個(gè)交點(diǎn),
由可得當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以g(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,
從而,
所以a>1.
(2)證明:由(1)知,0<x1<1<x2,
若不等式x1+x2>2成立,則g(x2)>g(2﹣x1),即g(x1)>g(2﹣x1),
令F(x)=g(x)﹣g(2﹣x),x∈(0,1),則只需F(x)>0,
而,只需研究的符號(hào),
因?yàn)?/span>,,
所以,
所以,則,
所以,
即x1+x2>2成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,.
(1)如果函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)的解析式;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程;
(3)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中為正實(shí)數(shù).
(1)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將參加夏令營的400名學(xué)生編號(hào)為:001,002,…,400,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為40的樣本,且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003,這400名學(xué)生分住在三個(gè)營區(qū),從001到180在第一營區(qū),從181到295在第二營區(qū),從296到400在第三營區(qū),三個(gè)營區(qū)被抽中的人數(shù)分別為( )
A. 18,12,10 B. 20,12,8 C. 17,13,10 D. 18,11,11
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=4x與橢圓E:1(a>b>0)有一個(gè)公共焦點(diǎn)F.設(shè)拋物線C與橢圓E在第一象限的交點(diǎn)為M.滿足|MF|.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)P(1,)的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn),直線PO交橢圓E于另一點(diǎn)Q.若P為AB的中點(diǎn),求△QAB的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,過右焦點(diǎn)作直線交橢圓于,兩點(diǎn),的周長(zhǎng)為,點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線、的斜率,,請(qǐng)問是否為定值?若是定值,求出其定值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué),測(cè)量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖.
(1)計(jì)算甲班的樣本方差;
(2)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué),求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=,AB=8,點(diǎn)D在BC邊上,CD=2,cos∠ADC=.
(1)求sin∠BAD;
(2)求BD,AC的長(zhǎng).
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