【題目】現(xiàn)有邊長分別3,4,5的三角形兩個,邊長分別4,5,的三角形四個,邊長分別為,4,5的三角形六個.用上述三角形為面,可以拼成______個四面體.
【答案】一
【解析】
如圖所示,.
能拼成四面體的關鍵之一是兩相鄰面的交棱長相等,關鍵之二是每頂點處任兩個面角之和大于第三個面角.據(jù)題設條件知,每種三角形必須成對出現(xiàn).不仿設拼成的四面體為PQRS,如圖.
(1)若取兩個置于和上,使.
(i)若取兩個置于和上,(),則P處的三個面角分別為和.而,所以不能拼成四面體.
(ii)若取另兩個置于和上,()則P處的三個面角分別和,而
(可用余弦定理算之),所以也不能拼成四面體.
(iii)若取兩個置于和上(),則P處的三個面角分別和,而(因為
,且內為減函數(shù)),所以仍不能拼成.
(2)若取兩個置于和上,使.
(i)若取兩個另置于兩個面上(),由上述(1)、(iii)知不能拼成四面體.
(ii)若取兩個置于另兩個面上(),則P處的三個面角分別和,而,因此也不能拼成.
(iii)若取另兩個置于另兩個面上(),則P處的三個面角分別和,而其中最大角(因為,且在內為增函數(shù)),即頂點處的三個面角任二個面角之和大于第三個面角成立.
所以,這四個三角形僅能拼成一個四面體.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù).
(1)若為偶函數(shù),求在上的值域;
(2)若的單調遞減區(qū)間為,求實數(shù)a構成的的集合;
(3)若時,的圖像恒在直線的上方,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為響應綠色出行,前段時間大連市在推出“共享單車”后,又推出“新能源分時租賃汽車”,其中一款新能源分時租賃汽車,每次租車收費的標準由兩部分組成:①根據(jù)行駛里程按1元/公里計費;②行駛時間不超過40分鐘時,按0.12元/分鐘計費:超出部分按0.20元/分鐘計費,己知張先生家離上班地點15公里,每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅路燈等因素,每次路上開車花費的時間(分鐘)是一個隨機變量.現(xiàn)統(tǒng)計了100次路上開車花費時間,在各時間段內的頻數(shù)分布情況如下表所示:
時間(分鐘) |
|
|
|
|
頻數(shù) | 4 | 36 | 40 | 20 |
將各時間段發(fā)生的頻率視為概率,每次路上開車花費的時間視為用車的時間,范圍為分鐘.
(1)寫出張先生一次租車費用(元)與用車時間(分鐘)的函數(shù)關系式:
(2)若公司每月給900元的車補,請估計張先生每月(按24天計算)的車補是否足夠上下班租用新能源分時租賃汽車?并說明理由.(同一時段,用該區(qū)間的中點值作代表)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】新能源汽車包括純電動汽車、增程式電動汽車、混合動力汽車、燃料電池電動汽車、氫發(fā)動機汽車、其他新能源汽車等.它是未來汽車的發(fā)展方向.一個新能源汽車制造廠引進了一條新能源汽車整車裝配流水線,這條流水線生產的新能源汽車數(shù)量(輛)與創(chuàng)造的價值(萬元)之間滿足二次函數(shù)關系.已知產量為0時,創(chuàng)造的價值也為0;當產量為40000輛時,創(chuàng)造的價值達到最大6000萬元.若這家工廠希望利用這條流水線創(chuàng)收達到5625萬元,則它可能生產的新能源汽車數(shù)量是___________輛.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知A,B為橢圓上的兩個動點,滿足.
(1)求證:原點O到直線AB的距離為定值;
(2)求的最大值;
(3)求過點O,且分別以OA,OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)對,恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當時,求在 上的最大值和最小值;
(3)證明:對都有成立.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知三棱錐O—ABC的側棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中點.
(1)求異面直線BE與AC所成角的余弦值;
(2)求二面角A—BE—C的余弦值.
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