【題目】已知A,B為橢圓上的兩個(gè)動點(diǎn),滿足

1)求證:原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值;

2)求的最大值;

3)求過點(diǎn)O,且分別以OA,OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)P的軌跡方程.

【答案】1)證明見解析;(2;(3

【解析】

1)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),將代入橢圓方程可得,即可得原點(diǎn)O到直線AB的距離為;當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為,,與橢圓方程聯(lián)立,可得,又,則,利用韋達(dá)定理代入化簡可得,則原點(diǎn)O到直線AB的距離,故原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值;

(2)由(1)可得,又,即可得的最大值;

(3)如圖所示,過點(diǎn)O,且分別以OAOB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)P的軌跡滿足:,,可得PA,B三點(diǎn)共線. 由(1)可知:原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值,即可得點(diǎn)的軌跡方程.

1)證明:當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),由代入橢圓方程可得:,解得,此時(shí)原點(diǎn)O到直線AB的距離為

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為,

聯(lián)立,化為,

,則,,

化為,

化為,

化為

原點(diǎn)O到直線AB的距離

綜上可得:原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值

2)解:由(1)可得,

,

,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.

的最大值為

3)解:如圖所示,過點(diǎn)O,且分別以OAOB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)P的軌跡滿足:,

因此P,AB三點(diǎn)共線.

由(1)可知:原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值

分別以OA,OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)P的軌跡方程為

練習(xí)冊系列答案
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