【題目】已知函數(shù),.
(1)對,恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)時,求在 上的最大值和最小值;
(3)證明:對都有成立.
【答案】(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】
(1)原不等式等價于,參變分離可求參數(shù)的取值范圍.
(2)當(dāng)時,,該函數(shù)的極小值點為,因函數(shù)的定義域為,故分 和兩種情況分類討論即可.
(3)即證在上恒成立,也就是在上恒成立,令,,利用導(dǎo)數(shù)可證.
(1)由題意,在恒成立,
即,,在恒成立,
設(shè),只須.
由于
所以時,,單調(diào)遞減;
時,,單調(diào)遞增;
故.因此.
所以的取值范圍為.
(2)時,,,令,得.
當(dāng)時,,單調(diào)遞減;
時,,單調(diào)遞增.
故在時,為最小值點,且.
由題意 ,,
1°當(dāng)時,在最小值為,
,
由于.
.
故.
即當(dāng)時,在最小值為,
最大值為.
2°當(dāng)時,在單調(diào)遞增,
,
,
綜上所求.
當(dāng)時,,
當(dāng)時,.
(Ⅲ)即證:,
即證:,亦即證:,
設(shè),即,
令,,
當(dāng)時,,單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,單調(diào)遞增.
即.
又設(shè),.
當(dāng)時,,單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,單調(diào)遞減.
故.
所以最小值與最大值均為.
但取得最小值與取得最大值時的不相同,故,
即成立,亦即結(jié)論成立.
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【題目】已知點、為雙曲線的左、右焦點,過作垂直于軸的直線,在軸上方交雙曲線于點,且,圓的方程是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為、,求的值;
(3)過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于、兩點,中點為,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有邊長分別3,4,5的三角形兩個,邊長分別4,5,的三角形四個,邊長分別為,4,5的三角形六個.用上述三角形為面,可以拼成______個四面體.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出以下關(guān)于線性方程組解的個數(shù)的命題.
①,②,③,④,
(1)方程組①可能有無窮多組解;
(2)方程組②可能有且只有兩組不同的解;
(3)方程組③可能有且只有唯一一組解;
(4)方程組④可能有且只有唯一一組解.
其中真命題的序號為________________.
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【題目】已知函數(shù).其中表示的導(dǎo)函數(shù)在的取值.
(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在的定義域內(nèi)恒成立,求的最小值.
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【題目】在數(shù)列中,已知,對于任意的,有.
(1)求數(shù)列的通項公式.
(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式.
(3)設(shè),是否存在實數(shù),當(dāng)時,恒成立?若存在,求實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求該函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)時,如果對任何都成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,將函數(shù)的圖像沿軸方向平移,得到一個偶函數(shù)的圖像,設(shè)函數(shù)的最大值為,求的最小值.
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【題目】若數(shù)列同時滿足:①對于任意的正整數(shù), 恒成立;②對于給定的正整數(shù), 對于任意的正整數(shù)恒成立,則稱數(shù)列是“數(shù)列”.
(1)已知判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”,并說明理由;
(2)已知數(shù)列是“數(shù)列”,且存在整數(shù),使得, , , 成等差數(shù)列,證明: 是等差數(shù)列.
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【題目】某中學(xué)在高二下學(xué)期開設(shè)四門數(shù)學(xué)選修課,分別為《數(shù)學(xué)史選講》.《球面上的幾何》.《對稱與群》.《矩陣與變換》.現(xiàn)有甲.乙.丙.丁四位同學(xué)從這四門選修課程中選修一門,且這四位同學(xué)選修的課程互不相同,下面關(guān)于他們選課的一些信息:①甲同學(xué)和丙同學(xué)均不選《球面上的幾何》,也不選《對稱與群》:②乙同學(xué)不選《對稱與群》,也不選《數(shù)學(xué)史選講》:③如果甲同學(xué)不選《數(shù)學(xué)史選講》,那么丁同學(xué)就不選《對稱與群》.若這些信息都是正確的,則丙同學(xué)選修的課程是( )
A. 《數(shù)學(xué)史選講》B. 《球面上的幾何》C. 《對稱與群》D. 《矩陣與變換》
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