Question

【題目】在數(shù)列中，已知，對(duì)于任意的，有.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（3）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）；（3）.

【解析】

(1)取，，則.所以，即是公差為2，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列.再求數(shù)列的通項(xiàng).(2)利用作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(3)

由題意得：，假設(shè)存在，使，化簡(jiǎn)得

，再對(duì)n分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，分別分離參數(shù)求出

(1)取，，則.

所以，即是公差為2，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列.

所以.檢驗(yàn)對(duì)任意成立。

(2)因?yàn)?/span> ①

所以.②

①—②得：，所以.

當(dāng)時(shí)，，所以，滿足上式.

所以.

(3)由題意得：，

假設(shè)存在，使，

則.

所以.

所以.

若為正偶數(shù)時(shí)，恒成立，

則，

所以.

所以.

若為正奇數(shù)時(shí)，恒成立，

則，

所以.

所以.

綜上可知，存在實(shí)數(shù).使時(shí)，恒成立.