【題目】設函數(shù)和都是定義在集合上的函數(shù),對于任意的,都有成立,稱函數(shù)與在上互為“互換函數(shù)”.
(1)函數(shù)與在上互為“互換函數(shù)”,求集合;
(2)若函數(shù) (且)與在集合上互為“互換函數(shù)”,求證:;
(3)函數(shù)與在集合且上互為“互換函數(shù)”,當時,,且在上是偶函數(shù),求函數(shù)在集合上的解析式.
【答案】(1)(2)見解析(3),
【解析】
(1)利用列方程,并用二倍角公式進行化簡,求得或,進而求得集合.
(2)由,得(且),化簡后根據(jù)的取值范圍,求得的取值范圍.
(3)首先根據(jù)為偶函數(shù),求得當時,的解析式,從而求得當時,的解析式.依題意“當,恒成立”,化簡得到,根據(jù)函數(shù)解析式的求法,求得時,以及,進而求得函數(shù)在集合上的解析式.
(1)由得
化簡得,,所以或.
由解得或,,
即或,.
又由解得 ,.
所以集合,或,
即集合.
(2)證明:由,得(且).
變形得 ,所以.
因為,則 ,所以 .
(3)因為函數(shù)在上是偶函數(shù),則 .當,則,所以.所以 ,
因此當時,.
由于與函數(shù)在集合上“互換函數(shù)”,
所以當,恒成立.
即對于任意的恒成立.
即.
于是有,
,.
上述等式相加得 ,即.
當()時,,
所以 .
而,,
所以當時,
,
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某高校對生源基地學校一年級的數(shù)學成績進行摸底調查,已知其中兩個摸底學校分別有人、人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從兩個學校一共抽取了名學生的數(shù)學成績,并作出了頻數(shù)分別統(tǒng)計表如下:(一年級人數(shù)為人的學校記為學校一,一年級人數(shù)為1000人的學校記為學校二)
學校一
分組 | ||||
頻道 | ||||
分組 | ||||
頻數(shù) |
學校二
分組 | ||||
頻道 | ||||
分組 | ||||
頻數(shù) |
(1)計算,的值.
(2)若規(guī)定考試成績在內為優(yōu)秀,請分別估計兩個學校數(shù)學成績的優(yōu)秀率;
(3)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為兩個學校的數(shù)學成績有差異.
學校一 | 學校二 | 總計 | |
優(yōu)秀 | |||
非優(yōu)秀 | |||
總計 |
附:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C的極坐標方程為=(>0),過點的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線與曲線C相交于A,B兩點.
(Ⅰ)寫出曲線C的直角坐標方程和直線的普通方程;
(Ⅱ)若,求的值.
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【題目】如圖,三棱柱中,四邊形為菱形,,平面平面,在線段上移動,為棱的中點.
(1)若為線段的中點,為中點,延長交于,求證:平面;
(2)若二面角的平面角的余弦值為,求點到平面的距離.
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【題目】已知等比數(shù)列{an}的各項均為不等于1的正數(shù),數(shù)列{bn}滿足bn=lgan,b3=18,b6=12,則數(shù)列{bn}的前n項和的最大值等于( )
A. 126 B. 130 C. 132 D. 134
【答案】C
【解析】
由題意可知,lga3=b3,lga6=b6再由b3,b6,用a1和q表示出a3和b6,進而求得q和a1,根據(jù){an}為正項等比數(shù)列推知{bn}為等差數(shù)列,進而得出數(shù)列bn的通項公式和前n項和,可知Sn的表達式為一元二次函數(shù),根據(jù)其單調性進而求得Sn的最大值.
由題意可知,lga3=b3,lga6=b6.
又∵b3=18,b6=12,則a1q2=1018,a1q5=1012,
∴q3=10﹣6.
即q=10﹣2,∴a1=1022.
又∵{an}為正項等比數(shù)列,
∴{bn}為等差數(shù)列,
且d=﹣2,b1=22.
故bn=22+(n﹣1)×(﹣2)=﹣2n+24.
∴Sn=22n+×(﹣2)
=﹣n2+23n=,又∵n∈N*,故n=11或12時,(Sn)max=132.
故答案為:C.
【點睛】
這個題目考查的是等比數(shù)列的性質和應用;解決等差等比數(shù)列的小題時,常見的思路是可以化基本量,解方程;利用等差等比數(shù)列的性質解決題目;還有就是如果題目中涉及到的項較多時,可以觀察項和項之間的腳碼間的關系,也可以通過這個發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
【題型】單選題
【結束】
12
【題目】已知數(shù)列是遞增數(shù)列,且對,都有,則實數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為,將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到的圖象關于軸對稱,則( )
A. 函數(shù)的周期為 B. 函數(shù)圖象關于點對稱
C. 函數(shù)圖象關于直線對稱 D. 函數(shù)在上單調
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在函數(shù)的定義域內存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)當時,若曲線: 在點處的切線與曲線有且只有一個公共點,求的值或取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調查研究中,發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時間t之間的關系滿足如圖所示的曲線.當t∈(0,14]時,曲線是二次函數(shù)圖象的一部分,當t∈[14,40]時,曲線是函數(shù)(且)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當注意力指數(shù)p大于等于80時聽課效果最佳.
(1)試求的函數(shù)關系式;
(2)一道數(shù)學難題,講解需要22分鐘,問老師能否經過合理安排在學生聽課效果最佳時講完?請說明理由.
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