【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是菱形,是矩形,,,, ,為的中點(diǎn).
(1)平面平面
(2)在線段上是否存在點(diǎn),使二面角的大小為?若存在,求出的長(zhǎng)度;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)由四邊形為矩形,所以,再由勾股定理,得到,利用線面垂直的判定定理,證得平面,進(jìn)而得到平面平面.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面的法向量為,又由平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解,得到結(jié)論.
(1)證明:由題意知,四邊形為矩形,所以,
又∵四邊形為菱形,為中點(diǎn),
所以,,,所以,所以,
又,所以平面,又平面,
所以平面平面
(2)假設(shè)線段上存在點(diǎn),使二面角的大小為,在上取一點(diǎn),
連接,.
由于四邊形是菱形,且,是的中點(diǎn),可得.
又四邊形是矩形,平面平面,∴平面,
所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則,,,,
則,,設(shè)平面的法向量為,
則,∴,令,則,
又平面的法向量,
所以,解得,
所以在線段上存在點(diǎn),使二面角的大小為,此時(shí).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:與直線:,:,過橢圓上的一點(diǎn)作,的平行線,分別交,于,兩點(diǎn),若為定值,則橢圓的離心率為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為評(píng)估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能,從該設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本,測(cè)量其直徑后,整理得到下表:
直徑/ | 78 | 79 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 93 | 合計(jì) |
件數(shù) | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
經(jīng)計(jì)算,樣本的平均值,標(biāo)準(zhǔn)差,以頻率值作為概率的估計(jì)值.
(1)為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判(表示相應(yīng)事件的頻率):
①;②;③,評(píng)判規(guī)則為:若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式,則設(shè)備等級(jí)為甲;僅滿足其中兩個(gè),則等級(jí)為乙;若僅滿足其中一個(gè),則等級(jí)為丙;若全部不滿足,則等級(jí)為丁.試判斷設(shè)備的性能等級(jí).
(2)將直徑小于等于的零件或直徑大于等于的零件認(rèn)定為是“次品”,將直徑小于等于的零件或直徑大于等于的零件認(rèn)定為是“突變品”,從樣本的“次品”中隨意抽取2件零件,求“突變品”個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓:的左,右焦應(yīng)分別是,,離心率為,過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線:與橢圓切于點(diǎn),直線平行于,與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且與直線交于點(diǎn).證明:存在常數(shù),使得,并求的值;
(3)點(diǎn)是橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接,,設(shè)后的角平分線交的長(zhǎng)軸于點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,定義為兩點(diǎn),的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出下列三個(gè)命題:
①對(duì)任意三點(diǎn)、、,都有;
②已知點(diǎn)和直線:,則;
③到定點(diǎn)的距離和到的“切比雪夫距離”相等的點(diǎn)的軌跡是正方形.
其中正確的命題有( )
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若曲線與在點(diǎn)處有相同的切線,求函數(shù)的極值;
(2)若,討論函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,四個(gè)點(diǎn),,,中有3個(gè)點(diǎn)在橢圓:上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(,不是橢圓的頂點(diǎn)),點(diǎn)在橢圓上,且,直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn),設(shè)直線,的斜率分別為,,證明:存在常數(shù)使得,并求出的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD是直角梯形,側(cè)棱底面ABCD,AB垂直于AD和BC,,且.M是棱SB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:面SCD;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn),MN與面SAB所成的角為,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)圖象在點(diǎn)處的切線與的圖象相切,求的值;
(3)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求的最大值.
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