【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，，且.M是棱SB的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：面SCD；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，MN與面SAB所成的角為，求的最大值.

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).

（Ⅰ）求出平面SCD的法向量，根據(jù)空間向量數(shù)量積的計(jì)算公式，結(jié)合線面平行的判定定理證明即可；

（Ⅱ）利用空間向量夾角公式直接求解即可；

（Ⅲ）利用空間向量夾角公式求出的表達(dá)式，利用配方法求出的最大值.

以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.

（Ⅰ），，.

設(shè)平面SCD的法向量是，則，即

令，則，.于是.

，.

又平面SCD，平面SCD.

（Ⅱ）易知平面ASD的法向量為.設(shè)平面SCD與平面ASD所成的二面角為，

則，

二面角的余弦值.

（Ⅲ）易知：平面ASB的法向量為

設(shè)，則.

.

當(dāng)，即時(shí)，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案:對(duì)于每位銷(xiāo)售人員,均以10萬(wàn)元為基數(shù),若銷(xiāo)售利潤(rùn)沒(méi)超出這個(gè)基數(shù),則可獲得銷(xiāo)售利潤(rùn)的5%的獎(jiǎng)金;若銷(xiāo)售利潤(rùn)超出這個(gè)基數(shù)(超出的部分是a萬(wàn)元),則可獲得萬(wàn)元的獎(jiǎng)金.記某位銷(xiāo)售人員獲得的獎(jiǎng)金為y(單位:萬(wàn)元),其銷(xiāo)售利潤(rùn)為x(單位:萬(wàn)元).

(1)寫(xiě)出這位銷(xiāo)售人員獲得的獎(jiǎng)金y與其銷(xiāo)售利潤(rùn)x之間的函數(shù)關(guān)系式;

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，且，平面ABCD.

（1）求PA與平面PCD所成角的正弦值；

（2）棱PD上是否存在一點(diǎn)E，滿(mǎn)足？若存在，求AE的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，是的中點(diǎn)，，.

（1）求證：平面；

（2）若，點(diǎn)在側(cè)棱上，且，二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】[選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

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