【題目】已知的三個頂點落在半徑為的球的表面上,三角形有一個角為且其對邊長為3,球心所在的平面的距離恰好等于半徑的一半,點為球面上任意一點,則三棱錐的體積的最大值為( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

外接圓的圓心為,則平面,所以,設外接圓的半徑為,,利用正弦定理即可求得:,再利用截面圓的性質(zhì)可列方程:,即可求得,即可求得點到平面的距離的最大值為,利用余弦定理及基本不等式即可求得:,再利用錐體體積公式計算即可得解。

外接圓的圓心為,則平面,所以

外接圓的半徑為,,

由正弦定理可得:,解得:

由球的截面圓性質(zhì)可得:,解得:

所以點到平面的距離的最大值為:.

中,由余弦定理可得:

當且僅當時,等號成立,所以.

所以,當且僅當時,等號成立.

當三棱錐的底面面積最大,高最大時,其體積最大.

所以三棱錐的體積的最大值為

故選:C

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【題目】已知的三個頂點落在半徑為的球的表面上,三角形有一個角為且其對邊長為3,球心所在的平面的距離恰好等于半徑的一半,點為球面上任意一點,則三棱錐的體積的最大值為( )

A. B. C. D.

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