Question

【題目】對于函數(shù)，若，則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”，若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為和，即，，那么，

（1）求函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”；

（2）求證：；

（3）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）“穩(wěn)定點(diǎn)”為；（2）見解析；（3）

【解析】

本題拿出一個(gè)概念來作為新型定義題，只需要去對定義的理解就好，要求函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”只需求方程中的值，即為“穩(wěn)定點(diǎn)”

若，有這是不動(dòng)點(diǎn)的定義，此時(shí)得出，，如果，則直接滿足.

先求出即存在“不動(dòng)點(diǎn)”的條件，同理取得到存在“穩(wěn)定點(diǎn)”的條件，而兩集合相等，即條件所求出的結(jié)果一直，對結(jié)果進(jìn)行分類討論.

（1）由有，得：，所以函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”為；

（2）證明：若，則，顯然成立；

若，設(shè)，有，則有，

所以，故

（3）因?yàn)?/span>，所以方程有實(shí)根，即有實(shí)根，

所以或，解得又由得：即由（1）知，故方程左邊含有因式

所以，又，

所以方程要么無實(shí)根，要么根是方程的解，

當(dāng)方程無實(shí)根時(shí)，或，即，

當(dāng)方程有實(shí)根時(shí)，則方程的根是方程的解，

則有，代入方程得，故，

將代入方程，得，所以.

綜上：的取值范圍是.