【題目】已知函數(shù)f(x)= (t+1)lnx,,其中t∈R.
(1)若t=1,求證:當x>1時,f(x)>0成立;
(2)若t> ,判斷函數(shù)g(x)=x[f(x)+t+1]的零點的個數(shù).
【答案】(1)見解析(2)1
【解析】試題分析:(1)當時,對求導, 得增區(qū)間, 得減區(qū)間,進而求出函數(shù)的最小值值,即可證明;(2)若t> ,求得函數(shù)g(x)=x[f(x)+t+1]的導函數(shù),研究其單調(diào)性,根據(jù)零點定理再利用導數(shù)即可判定零點的個數(shù).
試題解析:解:(1)t=1時,f(x)=x﹣﹣2lnx,x>0
∴f′(x)=1+﹣==≥0,
∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(x)>f(1)=1﹣1﹣0=0,
∴x>1,f(x)>0成立,
(2)當x∈(0,+∞),g(x)=tx2﹣(t+1)xlnx+(t+1)x﹣1
∴g′(x)=2tx﹣(t+1)lnx,
設m(x)=2tx﹣(t+1)lnx, ∴m′(x)=2t﹣=,
令m′(x)=0,得x=,
當0<x<時,m'(x)<0;當時x>,m'(x)>0.
∴g'(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.
∴g'(x)的最小值為g′()=(t+1)(1﹣ln),
∵t>,∴ =+<+<e.
∴g'(x)的最小值g′()=(t+1)(1﹣ln)>0,
從而,g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.
又g(1)=2t>0,又g()=+(6+2lnt)﹣1,
設h(t)=e3t﹣(2lnt+6).
則h′(t)=e3﹣.
令h'(t)=0得t=.由h'(t)<0,得0<t<;
由h'(t)>0,得t>.
∴h(t)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.
∴h(t)min=h()=2﹣2ln2>0.
∴h(t)>0恒成立.∴e3t>2lnt+6,.
∴g()<+﹣1=++﹣1<++﹣1<0.
∴當t>時,函數(shù)g(x)恰有1個零點
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,左頂點為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知為坐標原點, 是橢圓上的兩點,連接的直線平行交軸于點,證明: 成等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】袋中有五張卡片,其中紅色卡片三張,標號分別為1,2,3;藍色卡片兩張,標號分別為1,2.
(1)從以上五張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率;
(2)現(xiàn)袋中再放入一張標號為0的綠色卡片,從這六張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點,橢圓的左,右頂點分別為.過點的直線與橢圓交于兩點,且的面積是的面積的3倍.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若與軸垂直,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點,且滿足,試問直線的斜率是否為定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=2sin(x-)-,現(xiàn)將f(x)的圖象向左平移個單位長度,再向上平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象.
(1)求f()+g()的值;
(2)若a,b,c分別是△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a+c=4,且當x=B時,g(x)取得最大值,求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y(單位:百萬元)之間有如下對應數(shù)據(jù):
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)畫出散點圖.
(2)求回歸方程.
(3)試預測廣告費支出為10百萬元時,銷售額多大?
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