【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn),橢圓的左,右頂點(diǎn)分別為.過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且的面積是的面積的3倍.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若與軸垂直,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn),且滿足,試問直線的斜率是否為定值,請(qǐng)說明理由.
【答案】(I);(II)為定值.
【解析】試題分析:
(1)利用題意求得,則橢圓的方程為.
(2)設(shè)出直線的 斜率,聯(lián)立直線與橢圓的方程可得直線的斜率為定值.
試題解析:
解法一:(Ⅰ)因?yàn)?/span>的面積是的面積的3倍,
所以,即,所以,所以,
則橢圓的方程為.
(Ⅱ)當(dāng),則,
設(shè)直線的斜率為,則直線的斜率為,
不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方,,設(shè),
則的直線方程為,代入中整理得
,
;
同理.
所以,,
則,
因此直線的斜率是定值.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)依題意知直線的斜率存在,所以設(shè)方程:代入中整理得
,設(shè),
所以,,
當(dāng),則,不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方,,
所以,整理得,
所以 ,
整理得,
即,所以或.
當(dāng)時(shí),直線過定點(diǎn),不合題意;
當(dāng)時(shí),,符合題意,
所以直線的斜率是定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的反函數(shù)為, .
(1)求的解析式,并指出的定義域;
(2)判斷的奇偶性,并說明理由;
(3)設(shè),解關(guān)于的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證此結(jié)論,從全體組員中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男生30人、女生20人),給每位同學(xué)立體幾何題、代數(shù)題各一道,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答,選題情況統(tǒng)計(jì)如下表:(單位:人)
立體幾何題 | 代數(shù)題 | 總計(jì) | |
男同學(xué) | 22 | 8 | 30 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
總計(jì) | 30 | 20 | 50 |
(1)能否有97.5%以上的把握認(rèn)為“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān)?
(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)得,選擇做立體幾何題的學(xué)生正答率為,且答對(duì)的學(xué)生中男生人數(shù)是女生人數(shù)的5倍,現(xiàn)從選擇做立體幾何題且答錯(cuò)的學(xué)生中任意抽取兩人對(duì)他們的答題情況進(jìn)行研究,求恰好抽到男女生各一人的概率.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.
(1)求證:對(duì)于任意t∈R,方程f(x)=1必有實(shí)數(shù)根;
(2)若<t<,求證:方程f(x)=0在區(qū)間(-1,0)及內(nèi)各有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線: 的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為其上一點(diǎn),且.
(1)求與的值;
(2)如圖,過點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn),求直線、的斜率之積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正三棱柱中,,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證;
(Ⅱ)是否存在點(diǎn),使二面角等于60°?若存在,求的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩家商場(chǎng)對(duì)同一種商品展開促銷活動(dòng),對(duì)購(gòu)買該商品的顧客兩家商場(chǎng)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下:
甲商場(chǎng):顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示轉(zhuǎn)盤,當(dāng)指針指向陰影部分(圖中兩個(gè)陰影部分均為扇形,且每個(gè)扇形圓心角均為,邊界忽略不計(jì))即為中獎(jiǎng).
乙商場(chǎng):從裝有4個(gè)白球,4個(gè)紅球和4個(gè)籃球的盒子中一次性摸出3球(這些球初顏色外完全相同),如果摸到的是3個(gè)不同顏色的球,即為中獎(jiǎng).
(Ⅰ)試問:購(gòu)買該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大?說明理由;
(Ⅱ)記在乙商場(chǎng)購(gòu)買該商品的顧客摸到籃球的個(gè)數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知全集U=R,集合A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求:(1)A∩B;(2)A∪B;(3)A∪(UB);(4)B∩(UA);(5)(UA)∩(UB).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=a﹣(a∈R)
(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性,并用單調(diào)函數(shù)的定義證明;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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