【題目】已知正三棱柱中，，點為的中點，點在線段上.

（Ⅰ）當時，求證；

（Ⅱ）是否存在點，使二面角等于60°？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）存在點,當時，二面角等于.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：連接，由為正三棱柱為正三角形，

又平面平面平面 .易得 丄平面 .（Ⅱ）假設(shè)存在點滿足條件，設(shè).由丄平面，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為

，平面的一個法向量為 ．

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，

因為為正三棱柱，所以為正三角形，

又因為為的中點，所以，

又平面平面，平面平面，

所以平面，所以.

因為，所以，

所以在中，，

在中，，所以，即.

又，

所以丄平面，面，所以.

（Ⅱ）假設(shè)存在點滿足條件，設(shè).

取的中點，連接，則丄平面，

所以，

分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，

則，

所以，

設(shè)平面的一個法向量為，

則，令，得，

同理，平面的一個法向量為，

則，取，

∴.

∴，解得，

故存在點,當時，二面角等于.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】國慶期間，某旅行社組團去風景區(qū)旅游，若旅行團人數(shù)在 人或 人以下，每人需交費用為 元；若旅行團人數(shù)多于 人，則給予優(yōu)惠：每多 人，人均費用減少 元，直到達到規(guī)定人數(shù) 人為止．旅行社需支付各種費用共計 元．

Ⅰ 寫出每人需交費用 關(guān)于人數(shù) 的函數(shù)；

Ⅱ 旅行團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤?

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是，且用料最省，則圓柱的底面半徑為__________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知一次函數(shù)f(x)為增函數(shù)，且f(f(x))＝4x＋9，g(x)＝mx＋m＋3(m∈R).

(1)當x∈[－1,2]時，若不等式g(x)＞0恒成立，求m的取值范圍；

(2)如果函數(shù)F(x)＝f(x)g(x)為偶函數(shù)，求m的值；

(3)當函數(shù)f(x)和g(x)滿足f(g(x))＝g(f(x))時，求函數(shù)的值域.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點，橢圓的左，右頂點分別為．過點的直線與橢圓交于兩點，且的面積是的面積的3倍．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若與軸垂直，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且滿足，試問直線的斜率是否為定值，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了參加師大附中第30界田徑運動會的開幕式，高三年級某6個班聯(lián)合到集市購買了6根竹竿，作為班旗的旗桿之用，它們的長度分別為3.8，4.3，3.6，4.5，4.0，4.1(單位：米).

（Ⅰ）若從中隨機抽取兩根竹竿，求長度之差不超過0.5米的概率；

（Ⅱ）若長度不小于4米的竹竿價格為每根10元，長度小于4米的竹竿價格為每根元.從這6根竹竿中隨機抽取兩根，若期望這兩根竹竿的價格之和為18元，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的四棱錐中，四邊形為正方形，，平面，且、、分別為、、的中點，.

⑴證明：平面；

⑵若，求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).

（1）求的值；

（2）設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且此函數(shù)圖象過點(1,5)．

(1)求實數(shù)m的值；

(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,2)上的單調(diào)性？并用定義證明．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案