【題目】已知橢圓 的左焦點,若橢圓上存在一點,滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點.

(1)求橢圓的方程;

(2)過坐標原點的直線交橢圓 、兩點,其中點在第一象限,過軸的垂線,垂足為,連結并延長交橢圓,求證: .

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】試題分析:

(Ⅰ)連接,由題設條件能夠推導出,在 中, ,由此能求出橢圓的方程.(Ⅱ)由(Ⅰ)得橢圓,設直線的方程為,并代入得: ,利用根的判別式、中點坐標公式推導出當,或,或時,直線過橢圓的頂點.(Ⅲ)法一:由橢圓的方程為,設,則,直線的方程為,過點且與垂直的直線方程為,由此能夠證明.法二:由(Ⅰ)得橢圓的方程為,設,則,故,由此能夠證明

試題解析:

解:(Ⅰ)連接為原點, 為右焦點),由題意知:橢圓的右焦點為

因為的中位線,且,所以

所以,故

中,

,又,解得

所求橢圓的方程為.---------6分

(Ⅱ)法一:由(Ⅰ)得橢圓的方程為

根據(jù)題意可設,則

則直線的方程為…①

過點且與直的直線方程為…②

②并整理得:

在橢圓上,所以

所以

即①、②兩直線的交點在橢圓上,所以

法二:由(Ⅰ)得橢圓的方程為

根據(jù)題意可設,則, ,

所以直線

,化簡得

所以

因為,所以,則

所以,則,.

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(2)地產數(shù)據(jù)研究院在2016年的12個月份中,隨機抽取三個月的數(shù)據(jù)作樣本分析,若關注所抽三個月的所屬季度,記不同季度的個數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.

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, .

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