Question

【題目】如圖所示，在梯形BCDE中，BC∥DE，BA⊥DE，且EA=DA=AB=2CB=2，沿AB將四邊形ABCD折起，使得平面ABCD與平面ABE垂直，M為CE的中點．
（1）求證：AM⊥BE；
（2）求三棱錐C﹣BED的體積．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵平面ABCD⊥平面ABE，由已知條件可知，DA⊥AB，AB⊥BC，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE．
取EB的中點N，連接AN、MN，
在△ABE中，∵AE=AB，N為EB的中點，
∴AN⊥BE．在△EBC中，
∵EM=MC，EN=NB，∴MN∥BC，
又∵CB⊥平面ABE，
∴MN⊥平面ABE，∴MN⊥BE．
又∵AN∩MN=N，∴BE⊥平面AMN，
又∵AM平面AMN，∴AM⊥BE…（6分）
（2）解：∵平面ABCD⊥平面ABE，AE⊥AB，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴AE⊥平面ABCD，即AE⊥平面BCD．
又∵S△BCD=×BC×BA=×1×2=1，
∴三棱錐C﹣BED的體積=VE﹣BCD=×S△BCD×EA=×1×2=

【解析】（1）取EB的中點N，連接AN、MN，證明DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE，MN∥BC，利用CB⊥平面ABE，可得MN⊥平面ABE，進而證明BE⊥平面AMN，即可證明AM⊥BE；
（2）證明AE⊥平面BCD，利用三棱錐C﹣BED的體積=VE﹣BCD=×S△BCD×EA，即可求三棱錐C﹣BED的體積．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．