【題目】如圖,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,點D是棱BC的中點.
求證:(1)AD⊥C1D;
(2)A1B∥平面ADC1

【答案】證明:(1)因為三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱,
所以C1C⊥平面ABC,又AD平面ABC,
所以C1C⊥AD,又點D是棱BC的中點,且△ABC為正三角形,
所以AD⊥BC,因為BC∩C1C=C,所以AD⊥平面BCC1B1 ,
又因為DC1平面BCC1B1 , 所以AD⊥C1D;
(2)連接A1C交AC1于點E,再連接DE.
因為四邊形A1ACC1為矩形,所以E為A1C的中點,
又因為D為BC的中點,所以ED∥A1B.
又A1B平面ADC1 , ED平面ADC1 , 所以A1B∥平面ADC1

【解析】(1)欲證AD⊥C1D,而DC1平面BCC1B1 , 可先證AD⊥平面BCC1B1 , 而三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱,則C1C⊥平面ABC,又AD平面ABC,
根據(jù)線面垂直的性質可知C1C⊥AD,又點D是棱BC的中點,且△ABC為正三角形,從而AD⊥BC,又BC∩C1C=C,滿足定理所需條件;
(2)欲證A1B∥平面ADC1 , 根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證A1B與平面ADC1內一直線平行即可,連接A1C交AC1于點E,再連接DE,根據(jù)中位線可知ED∥A1B,又A1B平面ADC1 , ED平面ADC1 , 滿足定理所需條件.
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的性質,需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;垂直于同一個平面的兩條直線平行才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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