【題目】已知圓: 和點,動圓經(jīng)過點且與圓相切,圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)點是曲線與軸正半軸的交點,點, 在曲線上,若直線, 的斜率分別是, ,滿足,求面積的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)分析條件可得圓心滿足條件>,從而可得曲線E是M,N為焦點,長軸長為的橢圓,可得橢圓的方程;(2)設直線的方程為,代入橢圓方程消去x整理得到關于y的方程,進一步可得
,由可求得,從而,從而
可得 ,從而可得三角形面積的最大值。
試題解析:
(1)由題意得圓的圓心為,半徑為,
點在圓內(nèi),因為動圓經(jīng)過點且與圓相切,所以動圓與圓內(nèi)切。
設動圓半徑為,則 .
因為動圓經(jīng)過點,所以, >,
所以曲線E是M,N為焦點,長軸長為的橢圓.
設橢圓的方程為
則,
∴,
∴曲線的方程為.
(2)當直線的斜率為0時,不合題意;
設直線的方程為,
由消去x整理得,
設,
則,
由條件得點A坐標為(1,0),
∵,
∴
=.且,
∴,
解得,
故直線BC過定點(2,0),
由,解得,
∴ ,當且僅當時取等號。
綜上面積的最大值為.
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【題目】如圖所示,⊙O與⊙O′相交于A、B兩點,過A引直線CD,EF分別交兩圓于點C、D、E、F,EC與DF的延長線相交于點P,求證:∠P+∠CBD=180°.
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【題目】設橢圓的左右焦點分別為,,點滿足.
(Ⅰ) 求橢圓的離心率;
(Ⅱ) 設直線與橢圓相交于兩點,若直線與圓相交于,兩點,且,求橢圓的方程.
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【題目】如圖所示,在梯形BCDE中,BC∥DE,BA⊥DE,且EA=DA=AB=2CB=2,沿AB將四邊形ABCD折起,使得平面ABCD與平面ABE垂直,M為CE的中點.
(1)求證:AM⊥BE;
(2)求三棱錐C﹣BED的體積.
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【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)棱平面, 為等腰直角三角形, , , 分別是, 的中點,且.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若,求點到平面的距離 .
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【題目】某車間計劃每天生產(chǎn)卡車模型、賽車模型、小汽車模型這三種玩具共100個,已知生產(chǎn)一個卡車模型需5分鐘,生產(chǎn)一個賽車模型需7分鐘,生產(chǎn)一個小汽車模型需4分鐘,且生產(chǎn)一個卡車模型可獲利潤8元,生產(chǎn)一個賽車模型可獲利潤9元,生產(chǎn)一個小汽車模型可獲利潤6元.若總生產(chǎn)時間不超過10小時,該公司合理分配生產(chǎn)任務使每天的利潤最大,則最大利潤是______________元.
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【題目】已知公差大于零的等差數(shù)列的前項和為,且,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,求非零常數(shù)的值.
(3)設,為數(shù)列的前項和,是否存在正整數(shù),使得對任意的均成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)若函數(shù)的圖象與直線相切,求的值.
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