【題目】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和， .

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

【答案】（1）證明見解析， ；（2）.

【解析】試題分析：當(dāng)數(shù)列提供與、之間的遞推關(guān)系時(shí)，要數(shù)列是等差數(shù)列，只需利用，轉(zhuǎn)化為、之間的關(guān)系，證明某數(shù)列是等差數(shù)列，就是證明第n+1項(xiàng)與第n項(xiàng)的比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)分析給證明提供一個(gè)暗示，有了證明的目標(biāo)，從遞推關(guān)系式向著這個(gè)目標(biāo)進(jìn)行等價(jià)變形，就可得出所要證明的式子，達(dá)到證明的目的；已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式分兩步，第一步n=1 時(shí)，求出首項(xiàng)，第二步，當(dāng)時(shí)利用前n項(xiàng)和與前n-1項(xiàng)和作差求出第n項(xiàng)，若首項(xiàng)滿足后者，則可書寫統(tǒng)一的通項(xiàng)公式，若首項(xiàng)不滿足，則通項(xiàng)公式要寫成分段函數(shù)形式，有關(guān)數(shù)列求和問題，主要方法有倒序相加法、錯(cuò)位相減法、分組求和法、公式法等，要根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的形式特點(diǎn)采用相應(yīng)的方法求和.

試題解析：

（1），∴，

即， ，

∴數(shù)列是等差數(shù)列．

由上知數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，首項(xiàng)為，

∴，∴．

∴．

（或由得）,

由題知， ,

綜上， .

（2）由（1）知 ，

∴，

∴．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著手機(jī)的發(fā)展，“微信”越來越成為人們交流的一種方式.某機(jī)構(gòu)對(duì)“使用微信交流”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及對(duì)“使用微信交流”贊成人數(shù)如下表.

年齡（單位：歲）

[15,25）

[25,35）

[35,45）

[45,55）

[55,65）

[65,75）

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

5

10

12

7

2

1

（Ⅰ）若以“年齡45歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān)；

年齡不低于45歲的人數(shù)

年齡低于45歲的人數(shù)

合計(jì)

贊成

不贊成

合計(jì)

（Ⅱ）若從年齡在[25,35）和[55,65）的被調(diào)查人中按照分層抽樣的方法選取6人進(jìn)行追蹤調(diào)查，并給予其中3人“紅包”獎(jiǎng)勵(lì)，求3人中至少有1人年齡在[55,65）的概率.

參考數(shù)據(jù)如下：

附臨界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

的觀測(cè)值： （其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若直線a上的所有點(diǎn)到兩條直線m、n的距離都相等，則稱直線a為“m、n的等距線”．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是所在棱中點(diǎn)，M、N分別為EH、FG中點(diǎn)，則在直線MN，EG，F(xiàn)H，B1D中，是“A1D1、AB的等距線”的條數(shù)為（　�。�

A.1
B.2
C.3
D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市春節(jié)期間7家超市的廣告費(fèi)支出（萬元）和銷售額（萬元）數(shù)據(jù)如下：

超市

A

B

C

D

E

F

G

廣告費(fèi)支出

1

2

4

6

11

13

19

銷售額

19

32

40

44

52

53

54

（1）若用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）用二次函數(shù)回歸模型擬合與的關(guān)系，可得回歸方程：，

經(jīng)計(jì)算二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的分別約為和，請(qǐng)用說明選擇哪個(gè)回歸模型更合適，并用此模型預(yù)測(cè)超市廣告費(fèi)支出為3萬元時(shí)的銷售額．

參數(shù)數(shù)據(jù)及公式：，，

．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和， .

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓： 和點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切，圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）點(diǎn)是曲線與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)， 在曲線上，若直線， 的斜率分別是， ，滿足，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，判斷點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系；

（2）設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】全世界人們?cè)絹碓疥P(guān)注環(huán)境保護(hù)問題，某監(jiān)測(cè)站點(diǎn)于2016年8月某日起連續(xù)天監(jiān)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)（），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

（1）根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖中的信息求出的值，并完成頻率分布直方圖；

（2）由頻率分布直方圖求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)；

（3）在空氣質(zhì)量指數(shù)分別屬于和的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取5天，再從中任意選取2天，求事件 “兩天空氣都為良”發(fā)生的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市為了引導(dǎo)居民合理用水，居民生活用水實(shí)行二級(jí)階梯式水價(jià)計(jì)量辦法，具體如下：第一階梯，每戶居民月用水量不超過12噸，價(jià)格為4元/噸；第二階梯，每戶居民月用水量超過12噸，超過部分的價(jià)格為8元/噸.為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣獲得了100戶居民的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照， ，…， 分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖.

(圖1) (圖2)

（Ⅰ）求頻率分布直方圖中字母的值，并求該組的頻率；

（Ⅱ）通過頻率分布直方圖，估計(jì)該市居民每月的用水量的中位數(shù)的值（保留兩位小數(shù)）；

（Ⅲ）如圖2是該市居民張某2016年1～6月份的月用水費(fèi)（元）與月份的散點(diǎn)圖，其擬合的線性回歸方程是. 若張某2016年1～7月份水費(fèi)總支出為312元，試估計(jì)張某7月份的用水噸數(shù).

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