【題目】設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).

(1)若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最大值與最小值.

(2)是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),使得?若存在,求直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1)最小值3,最大值4;(2)不存在

【解析】

試題(1)將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示,利用坐標(biāo)的有界性求出最值;(2)設(shè)出直線方程,根據(jù)|F2C||F2D|,可知F2在弦CD的中垂線上,利用中點(diǎn)和斜率關(guān)系,寫出中垂線方程,代入F2點(diǎn)即可判斷.或者根據(jù)焦半徑公式判斷更為簡(jiǎn)潔.

試題解析:(1)易知ab2,c1∴F1(-1,0),F21,0

設(shè)Pxy),則

=(-1x,-y·1x,-y

x2y21

x24x21

x23

∵x2∈[05],

當(dāng)x0,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),有最小值3

當(dāng)x±,即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),有最大值4.

2)法一、假設(shè)存在滿足條件的直線l,易知點(diǎn)A5,0)在橢圓外部,當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直線l與橢圓無交點(diǎn).

所以滿足條件的直線斜率存在,設(shè)為k

則直線方程為ykx5

由方程組

得:(5k24x250k2x125k2200

依題意,201680k2)>0

得:

當(dāng)時(shí),設(shè)交點(diǎn)為Cx1,y1),Dx2,y2),CD中點(diǎn)為Rx0,y0

x1x2,x0

∴y0kx05)=k5)=

|F2C||F2D|,有F2R⊥l,即=-1

=-1

20k220k24,

該等式不成立,所以滿足條件的直線l不存在.

法二、設(shè)交點(diǎn)為Cx1y1),Dx2y2),

設(shè)它們到右準(zhǔn)線x的距離分別為d1d2,

根據(jù)橢圓第二定義,有

因?yàn)?/span>|F2C||F2D|,故d1d2,于是x1x2,

于是CD所在直線l⊥x

又直線l經(jīng)過A5,0)點(diǎn),于是l的方程為x5

x5與橢圓無公共點(diǎn),所以,滿足條件的直線不存在.

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