【題目】已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx﹣cosx).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間:
(2)將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若方程g(x)=m在區(qū)間[0,]上有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)函數(shù)的最小正周期為π;函數(shù)的減區(qū)間為[kπ,kπ],k∈Z(2)m∈[﹣2,1]
【解析】
(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性,得出結(jié)論;
(2)利用正弦函數(shù)的定義域和值域,求得的范圍,進(jìn)而可得的范圍.
(1)函數(shù)f(x)=2cosx(sinx﹣cosx)sin2x﹣(1+cos2x)=2sin(2x)﹣1,
故函數(shù)的最小正周期為π.
令2kπ2x2kπ,求得kπx≤kπ,可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ,kπ],k∈Z.
(2)將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后,得到函數(shù)g(x)=2sin(2x)﹣1=2sin(2x)﹣1的圖象.
在區(qū)間[0,]上,2x∈[,],sin(2x)∈[,1],f(x)∈[﹣2,1].
若方程g(x)=m在區(qū)間[0,]上有解,則m∈[﹣2,1].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l:4x+3y+10=0,半徑為2的圓C與l相切,圓心C在x軸上且在直線l的右上方.
(1)求圓C的方程;
(2)過點(diǎn)M(1,0)的直線與圓C交于A,B兩點(diǎn)(A在x軸上方),問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N,使得x軸平分∠ANB?若存在,請求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖,四梭錐中,⊥底面,
,為線段上一點(diǎn),,為的中點(diǎn).
(I)證明:平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為,過左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn),且.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若圓上一點(diǎn)處的切線交橢圓于兩不同點(diǎn),求弦長的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)方式為:弧田面積=(弦×矢+矢2),弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差,現(xiàn)有圓心角為,半徑等于米的弧田,按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是
A. 平方米 B. 平方米
C. 平方米 D. 平方米
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為3元,并且每件產(chǎn)品需向總公司交元()的管理費(fèi),預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元()時(shí),一年的銷售量為萬件.
(Ⅰ)求分公司一年的利潤(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí),分公司一年的利潤最大,并求出的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠有一個(gè)容量為300噸的水塔,每天從早上6時(shí)起到晚上10時(shí)止供應(yīng)該廠的生產(chǎn)和生活用水,已知該廠生活用水為每小時(shí)10噸,工業(yè)用水量W(噸)與時(shí)間t(小時(shí),且規(guī)定早上6時(shí)t=0)的函數(shù)關(guān)系為:W=100.水塔的進(jìn)水量分為10級,第一級每小時(shí)進(jìn)水10噸,以后每提高一級,每小時(shí)進(jìn)水量就增加10噸.若某天水塔原有水100噸,在開始供水的同時(shí)打開進(jìn)水管.
(1)若進(jìn)水量選擇為2級,試問:水塔中水的剩余量何時(shí)開始低于10噸?
(2)如何選擇進(jìn)水量,既能始終保證該廠的用水(水塔中水不空)又不會使水溢出?
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