【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD為矩形,,,側(cè)面SAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,且平面平面ABCD,MN分別為AD,SC的中點(diǎn).

1)求證:平面SAB

2)求直線BN與平面SAB所成角的余弦值.

【答案】1)證明見解析(2

【解析】

1)取SB的中點(diǎn)H,連接AHNH,由平面幾何的知識可得四邊形AHNM是平行四邊形,,再由線面平行的判定即可得證;

2)設(shè)直線BN與平面SAB所成的角為,其中,點(diǎn)N到平面SAB的距離為d,由題意結(jié)合線面、面面位置關(guān)系的性質(zhì)與判定可得,連接SM,由面面垂直的性質(zhì)可得平面ABCD,進(jìn)而可得,由余弦定理求得后,利用,即可得解.

1)如圖,取SB的中點(diǎn)H,連接AHNH,

M,N分別為ADSC的中點(diǎn),∴

,且,

∴四邊形AHNM是平行四邊形,,

平面SAB,平面SAB,∴平面SAB

2)設(shè)直線BN與平面SAB所成的角為,其中,點(diǎn)N到平面SAB的距離為d

由(1)知平面SAB,則M到平面SAB的距離也是d,

∵平面平面ABCD,平面平面,

平面SAD,又平面SAB,∴平面平面SAD,

又平面平面,平面SAD內(nèi)的直線SD垂直于兩平面的交線SA

平面SAB

M是等腰直角三角形ADS斜邊AD的中點(diǎn),所以M到平面SAB的距離dDS的一半,

,∴,∴

連接SM,CM,BM,

∵平面平面ABCD,平面SAD內(nèi)的直線SM垂直兩平面的交線AD于點(diǎn)M

平面ABCD

由勾股定理易得,

中,由余弦定理得,

,

,,

∴直線BN與平面SAB所成角的余弦值為

練習(xí)冊系列答案
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1)試估計(jì)本校教師中缺乏鍛煉的人數(shù);

2)從全市高中教師中隨機(jī)抽取3人,若表示每天課外鍛煉時(shí)間少于10分鐘的人數(shù),以這60名高中教師每天課外鍛煉時(shí)間的頻率代替每名高中教師每天課外鍛煉時(shí)間發(fā)生的概率,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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1)求證:平面;

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