【題目】如圖，在棱長為12的正方體中，已知E，F分別為棱AB，的中點，若過點，E，F的平面截正方體所得的截面為一個多邊形，則該多邊形的周長為________，該多邊形與平面，ABCD的交線所成角的余弦值為________．

【答案】

【解析】

延長DC，與的延長線交于點G，連接EG，交BC于點H，延長GE，與DA的延長線交于點M，連接，交于點N．連接NE，FH，作出截面多邊形，由此易求該截面多邊形的周長；多邊形與平面，ABCD的交線分別為與，由面面平行的性質(zhì)定理得∥，則為多邊形與平面，ABCD的交線所成的角或其補角，利用余弦定理計算即可.

如圖，延長DC，與的延長線交于點G，連接EG，交BC于點H，延長GE，與DA的

延長線交于點M，連接，交于點N．連接NE，FH，

因為正方體的棱長為12，

所以．

因為∥，

所以，

所以，

所以，

同理可得，

所以，

所以，，

所以，．

易知，所以，

又，解得，

所以，，

則該多邊形的周長為．

由面面平行的性質(zhì)定理得∥，

則為多邊形與平面，ABCD的交線所成的角或其補角．

因為，所以，

所以該多邊形與平面，ABCD的交線所成角的余弦值為．

故答案為：；

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，設(shè)直線過橢圓的上頂點和右焦點，坐標(biāo)原點到直線的距離為2.

（1）求橢圓的方程.

（2）過點且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點，在軸的正半軸上是否存在定點，使得直線，的斜率之積為非零的常數(shù)？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】哈三中總務(wù)處的老師要購買學(xué)校教學(xué)用的粉筆，并且有非常明確的判斷一盒粉筆是“優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”和“非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”的方法.某品牌的粉筆整箱出售，每箱共有20盒，根據(jù)以往的經(jīng)驗，其中會有某些盒的粉筆為非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，其余的都為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品.并且每箱含有0，1，2盒非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品粉筆的概率為0.7，0.2和0.1.為了購買該品牌的粉筆，校總務(wù)主任設(shè)計了一種購買的方案：欲買一箱粉筆,隨機查看該箱的4盒粉筆，如果沒有非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，則購買，否則不購買.設(shè)“買下所查看的一箱粉筆”為事件，“箱中有件非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”為事件.

（1）求，，；

（2）隨機查看該品牌粉筆某一箱中的四盒，設(shè)為非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的盒數(shù)，求的分布列及期望；

（3）若購買100箱該品牌粉筆，如果按照主任所設(shè)計方案購買的粉筆中，箱中每盒粉筆都是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的箱數(shù)的期望比隨機購買的箱中每盒粉筆都是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的箱數(shù)的期望大10，則所設(shè)計的方案有效.討論該方案是否有效.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為進一步深化“平安校園”創(chuàng)建活動，加強校園安全教育宣傳，某高中對該校學(xué)生進行了安全教育知識測試（滿分100分），并從中隨機抽取了200名學(xué)生的成績，經(jīng)過數(shù)據(jù)分析得到如圖1所示的頻數(shù)分布表，并繪制了得分在以及的莖葉圖，分別如圖23所示．

成績

頻數(shù)

5

30

40

50

45

20

10

圖1

（1）求這200名同學(xué)得分的平均數(shù)；（同組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點值作代表）

（2）如果變量滿足且，則稱變量“近似滿足正態(tài)分布的概率分布”．經(jīng)計算知樣本方差為210，現(xiàn)在取和分別為樣本平均數(shù)和方差，以樣本估計總體，將頻率視為概率，如果該校學(xué)生的得分“近似滿足正態(tài)分布的概率分布”，則認(rèn)為該校的校園安全教育是成功的，否則視為不成功．試判斷該校的安全教育是否成功，并說明理由．

（3）學(xué)校決定對90分及以上的同學(xué)進行獎勵，為了體現(xiàn)趣味性，采用抽獎的方式進行，其中得分不低于94的同學(xué)有兩次抽獎機會，低于94的同學(xué)只有一次抽獎機會，每次抽獎的獎金及對應(yīng)的概率分別為：

獎金

50

100

概率

現(xiàn)在從不低于90同學(xué)中隨機選一名同學(xué)，記其獲獎金額為，以樣本估計總體，將頻率視為概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

（參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，平面平面，，，分別是棱，的中點.

（1）求證：平面；

（2）若，求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，圓：，一動圓在軸右側(cè)與軸相切，同時與圓相外切，此動圓的圓心軌跡為曲線，橢圓與曲線有相同的焦點.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)曲線與橢圓相交于第一象限點，且，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）在（2）的條件下，如果橢圓的左頂點為，過且垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點，直線，與直線：分別交于，兩點，證明：四邊形的對角線的交點是橢圓的右頂點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，，，側(cè)面SAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，且平面平面ABCD，M，N分別為AD，SC的中點．

（1）求證：平面SAB．

（2）求直線BN與平面SAB所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過拋物線y2＝4x焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點（點A在第一象限），若3，則直線l的斜率為（ ）

A.2B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的四個頂點圍成的四邊形的面積為，原點到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點？若存在，求出的方程：若不存在，請說明理由.

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