【題目】為進(jìn)一步深化“平安校園”創(chuàng)建活動(dòng),加強(qiáng)校園安全教育宣傳,某高中對(duì)該校學(xué)生進(jìn)行了安全教育知識(shí)測(cè)試(滿(mǎn)分100分),并從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的成績(jī),經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析得到如圖1所示的頻數(shù)分布表,并繪制了得分在以及的莖葉圖,分別如圖23所示.
成績(jī) | |||||||
頻數(shù) | 5 | 30 | 40 | 50 | 45 | 20 | 10 |
圖1
(1)求這200名同學(xué)得分的平均數(shù);(同組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值作代表)
(2)如果變量滿(mǎn)足且,則稱(chēng)變量“近似滿(mǎn)足正態(tài)分布的概率分布”.經(jīng)計(jì)算知樣本方差為210,現(xiàn)在取和分別為樣本平均數(shù)和方差,以樣本估計(jì)總體,將頻率視為概率,如果該校學(xué)生的得分“近似滿(mǎn)足正態(tài)分布的概率分布”,則認(rèn)為該校的校園安全教育是成功的,否則視為不成功.試判斷該校的安全教育是否成功,并說(shuō)明理由.
(3)學(xué)校決定對(duì)90分及以上的同學(xué)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),為了體現(xiàn)趣味性,采用抽獎(jiǎng)的方式進(jìn)行,其中得分不低于94的同學(xué)有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),低于94的同學(xué)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金及對(duì)應(yīng)的概率分別為:
獎(jiǎng)金 | 50 | 100 |
概率 |
現(xiàn)在從不低于90同學(xué)中隨機(jī)選一名同學(xué),記其獲獎(jiǎng)金額為,以樣本估計(jì)總體,將頻率視為概率,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(參考數(shù)據(jù):)
【答案】(1)65;(2)是成功的,理由詳見(jiàn)解析;(3)分布列詳見(jiàn)解析,數(shù)學(xué)期望為87.5
【解析】
(1)每組的中間成績(jī)乘以對(duì)應(yīng)的頻率再求和,就是所求的平均數(shù);
(2)計(jì)算的概率,結(jié)合莖葉圖中的數(shù)據(jù)即可進(jìn)行判斷;
(3)的可能取值為:50,100,150,200,計(jì)算每個(gè)數(shù)值對(duì)應(yīng)的概率,進(jìn)而得到的分布列,由此計(jì)算得出期望.
解(1)據(jù)頻數(shù)分布表得:
,
所以平均數(shù)為65.
(2)該校的安全教育是成功的.理由如下:
因?yàn)?/span>,所以,,
,,
而且據(jù)莖葉圖2,3知:得分小于36分的學(xué)生有3個(gè),得分大于94分的有4個(gè),
所以,
因?yàn)閷W(xué)生的得分都在之間,所以,
所以學(xué)生的得分“近似滿(mǎn)足正態(tài)分布的概率分布”,因此該校的安全教育是成功的.
(3)設(shè)這名同學(xué)獲得的獎(jiǎng)金為,則的可能取值為50,100,150,200.
,
,
,
,
分布列為
50 | 100 | 150 | 200 | |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新《水污染防治法》已由中華人民共和國(guó)第十二屆全國(guó)人民代表大會(huì)常務(wù)委員會(huì)第二十八次會(huì)議于2017年6月27日通過(guò),自2018年1月1日起施行.2018年3月1日,某縣某質(zhì)檢部門(mén)隨機(jī)抽取了縣域內(nèi)100眼水井,檢測(cè)其水質(zhì)總體指標(biāo).
羅斯水質(zhì)指數(shù) | 02 | 24 | 46 | 68 | 810 |
水質(zhì)狀況 | 腐敗污水 | 嚴(yán)重污染 | 污染 | 輕度污染 | 純凈 |
(1)求所抽取的100眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
(2)①由直方圖可以認(rèn)為,100眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值服從正態(tài)分布,利用該正態(tài)分布,求落在(5.21,5.99)內(nèi)的概率;
②將頻率視為概率,若某鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽查5眼水井的水質(zhì),記這5眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值位于(6,10)內(nèi)的井?dāng)?shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:①計(jì)算得所抽查的這100眼水井總體指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為;
②若,則,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓.
(Ⅰ)若的一個(gè)焦點(diǎn)為,且點(diǎn)在上,求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求線(xiàn)段的最小值(用表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn),且,直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(4,0),與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn),點(diǎn)在直線(xiàn)上的射影是.
(1)求的值;
(2)若,且,求直線(xiàn)的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地區(qū)城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄存款年底余額(單位:億元)如圖所示,下列判斷一定不正確的是( )
A.城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄存款年底余額逐年增長(zhǎng)
B.農(nóng)村居民的存款年底余額所占比重逐年上升
C.到2019年農(nóng)村居民存款年底總余額已超過(guò)了城鎮(zhèn)居民存款年底總余額
D.城鎮(zhèn)居民存款年底余額所占的比重逐年下降
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,左右頂點(diǎn)分別為,,右焦點(diǎn)為,為橢圓上異于,的動(dòng)點(diǎn),且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交軸與點(diǎn),試探究是否存在定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為12的正方體中,已知E,F分別為棱AB,的中點(diǎn),若過(guò)點(diǎn),E,F的平面截正方體所得的截面為一個(gè)多邊形,則該多邊形的周長(zhǎng)為________,該多邊形與平面,ABCD的交線(xiàn)所成角的余弦值為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面四邊形是直角梯形,底面,,,,,為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中,,,,,是的中點(diǎn),是與的交點(diǎn).將沿折起到的位置,如圖.
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)若平面平面,求平面與平面夾角的余弦值.
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