【題目】已知橢圓的離心率為,設(shè)直線過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為2.

1)求橢圓的方程.

2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓,兩點(diǎn),在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn),使得直線,的斜率之積為非零的常數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】12)存在,

【解析】

1.根據(jù)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),得到的方程為,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為2結(jié)合離心率求解.

2)設(shè)直線的方程為,,.聯(lián)立方程組消去,,將韋達(dá)定理代入上式研究與m無(wú)關(guān)即可.

1)設(shè)橢圓的半焦距為,根據(jù)題意,得.

因?yàn)?/span>過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),所以的方程為,即.

又由點(diǎn)到直線的距離為2,得,所以.

設(shè),,則,解得,從而,

所以橢圓的方程為.

2)依題意設(shè)直線的方程為,.

聯(lián)立方程組,消去,

所以,,

,

.

假設(shè)存在定點(diǎn),使得直線的斜率之積為非零常數(shù),

.

要使為非零常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)成立,

此時(shí),,

所以軸的正半軸上存在定點(diǎn),使得直線,的斜率之積為常數(shù).

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1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;

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羅斯水質(zhì)指數(shù)

02

24

46

68

810

水質(zhì)狀況

腐敗污水

嚴(yán)重污染

污染

輕度污染

純凈

1)求所抽取的100眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).

2)①由直方圖可以認(rèn)為,100眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值服從正態(tài)分布,利用該正態(tài)分布,求落在(5.21,5.99)內(nèi)的概率;

②將頻率視為概率,若某鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽查5眼水井的水質(zhì),記這5眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值位于(6,10)內(nèi)的井?dāng)?shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:①計(jì)算得所抽查的這100眼水井總體指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為;

②若,則,

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2)求點(diǎn)到平面的距離.

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