Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且橢圓過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)已知點(diǎn)，求證：若圓與直線(xiàn)相切，則圓與直線(xiàn)也相切.

Answer 1

【答案】（I）；（II）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）利用條件布列的方程組，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對(duì)直線(xiàn)l的斜率分類(lèi)討論，若圓與直線(xiàn)相切，則圓與直線(xiàn)也相切等價(jià)于

，聯(lián)立方程，借助根與系數(shù)關(guān)系證明等式即可.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)橢圓C的焦距為2c(c>0)，依題意，

解得，c=1，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（Ⅱ）證明：當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程為，M，N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P（4,0）在x軸上，所以直線(xiàn)PM與直線(xiàn)PN關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)O到直線(xiàn)PM與直線(xiàn)PN的距離相等，故若圓與直線(xiàn)PM相切，則也會(huì)與直線(xiàn)PN相切；

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為， ， ，

由得：

所以， ，

， ，

，

所以， ，于是點(diǎn)O到直線(xiàn)PM與直線(xiàn)的距離PN相等，

故若圓與直線(xiàn)PM相切，則也會(huì)與直線(xiàn)PN相切；

綜上所述，若圓與直線(xiàn)PM相切，則圓與直線(xiàn)PN也相切.