【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)在橢圓上, 是等邊三角形.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)點(diǎn)在橢圓上,線段與線段交于點(diǎn),若與的面積之比為,求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)由橢圓短軸上的頂點(diǎn)得,由是正三角形得即,從而求得方程;
(Ⅱ)設(shè), ,因?yàn)?/span>,所以,且,從而得即,代入橢圓方程得,將代入直線的方程得到,即可得解.
試題解析:
解:(Ⅰ)由題意是橢圓短軸上的頂點(diǎn),所以,
因?yàn)?/span>是正三角形,
所以,即.
由,所以.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
(Ⅱ)設(shè), ,依題意有, , , .
因?yàn)?/span>,所以,且,
所以, ,即.
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,即.
所以,解得,或.
因?yàn)榫段與線段交于點(diǎn),
所以,所以.
因?yàn)橹本的方程為,
將代入直線的方程得到.
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
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