Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)， 是大于0的常數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．

（1）求圓的極坐標(biāo)方程和圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）分別記直線： ， 與圓、圓的異于原點(diǎn)的焦點(diǎn)為， ，若圓與圓外切，試求實(shí)數(shù)的值及線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1) ， (2) ，

【解析】試題分析：（1）先將圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，再利用可得圓的極坐標(biāo)方程，兩邊同乘以利用互化公式 即可得圓的直角坐標(biāo)方程；（2）由（1）知圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑， 圓與圓外切的性質(zhì)列方程解得，分別將代入、的極坐標(biāo)方程，利用極徑的幾何意義可得線段的長(zhǎng).

試題解析：（1）圓： （是參數(shù)）消去參數(shù)，

得其普通方程為，

將， 代入上式并化簡(jiǎn)，

得圓的極坐標(biāo)方程，

由圓的極坐標(biāo)方程，得．

將， ， 代入上式，

得圓的直角坐標(biāo)方程為．

（2）由（1）知圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑，

，

∵圓與圓外切，

∴，解得，

即圓的極坐標(biāo)方程為．

將代入，得，得；

將代入，得，得；

故．