【題目】如圖，在四棱錐中，，底面為邊長為的菱形，且.

（1）證明：；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，取的中點，連接、，通過證明出平面得出；

（2）先證明出，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算出平面的法向量，利用空間向量法可計算出直線與平面所成角的正弦值.

（1）連接，因為底面是菱形，且，所以為等邊三角形，

取中點，連接、，所以，且，所以，

，所以平面，平面，所以；

（2）因為，且，所以，所以，，

，所以，

又因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

則、、、，

則，，，

設(shè)平面的法向量為，

則，令，則，，則，

設(shè)與平面所成角為，則.

因此，直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD//平面BCC1B1，AD⊥DB.求證：

（1）BC//平面ADD1A1；

（2）平面BCC1B1⊥平面BDD1B1.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某大型企業(yè)生產(chǎn)的某批產(chǎn)品細分為個等級，為了了解這批產(chǎn)品的等級分布情況，從倉庫存放的件產(chǎn)品中隨機抽取件進行檢測、分類和統(tǒng)計，并依據(jù)以下規(guī)則對產(chǎn)品進行打分：級或級產(chǎn)品打分；級或級產(chǎn)品打分；級、級、級或級產(chǎn)品打分；其余產(chǎn)品打分.現(xiàn)在有如下檢測統(tǒng)計表：

等級

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

頻數(shù)

10

90

100

200

200

100

100

100

70

30

規(guī)定：打分不低于分的為優(yōu)良級.

（1）①試估計該企業(yè)庫存的件產(chǎn)品為優(yōu)良級的概率；

②請估計該企業(yè)庫存的件產(chǎn)品的平均得分.

（2）從該企業(yè)庫存的件產(chǎn)品中隨機抽取件，請估計這件產(chǎn)品的打分之和為分的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，其中，

（1）若，且是的極大值點，求的取值范圍；

（2）當，時，方程有唯一實數(shù)根，求正數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

（1）求這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）

（2）由頻率分布直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，其中以近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．

（�。├迷撜龖B(tài)分布，求；

（ⅱ）某用戶從該工廠購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值為于區(qū)間(127．6,140）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（�。┑慕Y(jié)果，求．

附：．若，則，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cosB＝．

（Ⅰ）若c＝2a，求的值；

（Ⅱ）若C－B＝，求sinA的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出．某市為了節(jié)約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理（即確定一個居民月均用水量標準：用水量不超過a的部分按照平價收費，超過a的部分按照議價收費）．為了較為合理地確定出這個標準，通過抽樣獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：噸），制作了頻率分布直方圖，

（Ⅰ）用該樣本估計總體：

（1）估計該市居民月均用水量的平均數(shù)；

（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出標準，則月均用水量a的最低標準定為多少噸？

（Ⅱ）若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市某大型生活社區(qū)隨機調(diào)查3位居民的月均用水量，其中月均用水量不超過2.5噸的人數(shù)為X，求X的分布列和均值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在上的最大值；

（2）令，若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）當 時，函數(shù) 的圖象與軸交于兩點 ，且 ，又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù) 滿足條件.證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】大學生趙敏利用寒假參加社會實踐，對機械銷售公司7月份至12月份銷售某種機械配件的銷售量及銷售單價進行了調(diào)查，銷售單價和銷售量之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：

月份

7

8

9

10

11

12

銷售單價（元）

9

9.5

10

10.5

11

8

銷售量（件）

11

10

8

6

5

14

（1）根據(jù)7至11月份的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸直線方程；

（2）若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5元，則認為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？

（3）預(yù)計在今后的銷售中，銷售量與銷售單價仍然服從（1）中的關(guān)系，若該種機器配件的成本是2.5元/件，那么該配件的銷售單價應(yīng)定為多少元才能獲得最大利潤？（注：利潤=銷售收入-成本）．

　參考公式：回歸直線方程，其中，參考數(shù)據(jù)： ．

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