Question

【題目】已知數(shù)列滿足：（常數(shù)），，（，）.數(shù)列滿足：.

（1）分別求，，的值：

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）問：數(shù)列的每一項(xiàng)能否均為整數(shù)？若能，求出的所有可能值；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）能，的所有取值為1和2.

【解析】

（1）利用遞推公式和已知能求出的表達(dá)式，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；

（2）把遞推公式變形，得到一個(gè)等式，再遞推一步，再得到一個(gè)等式，兩個(gè)等式相減，再經(jīng)過變形，能得到以，即，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù).由（2）可得：，根據(jù)是整數(shù)，求出求出的值，然后逐一進(jìn)行驗(yàn)證即可.

（1）因?yàn)?/span>，，所以，

因?yàn)?/span>，所以，；

（2）當(dāng)時(shí)，，……①，所以，……………②

①－②有：，即：，

所以，即，所以

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù).

由（2）知……③

因?yàn)?/span>，，所以，

檢驗(yàn)：當(dāng)的，為整數(shù)，且，，結(jié)合③，數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù)，符合；

當(dāng)時(shí)③變?yōu)?/span>

消去，得：（），因?yàn)?/span>，，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)均為整數(shù)，

又因?yàn)?/span>，所以為偶數(shù)，且，所以，奇數(shù)項(xiàng)均為整數(shù)，符合.

綜上：的所有取值為1和2.