Question

【題目】已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求證：當(dāng)時(shí)，；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

(1)構(gòu)造,再求導(dǎo)可得,再對(duì)導(dǎo)數(shù)求導(dǎo),繼而分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求最小值證明即可.

(2) 求導(dǎo)可得,再分,,分析函數(shù)的最小值,同時(shí)根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷是否有兩個(gè)零點(diǎn)即可.

（1）設(shè)…

∴,

∴

∵∴∴

∴在上單調(diào)遞增,

又

∴時(shí),

∴在上單調(diào)遞增,

又

∴時(shí),

故當(dāng)時(shí),；

（2）∵

∴,

①當(dāng)時(shí),易知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意；

②當(dāng)時(shí),在上,,單調(diào)遞減；在上,,單調(diào)遞增；又,且,且當(dāng)上,恒成立，

又不妨取且時(shí),

或者考慮：當(dāng)

所以函數(shù)在和在上各有一個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí),由得或

（i）當(dāng)即時(shí),在上,成立,故在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意

（ii）當(dāng)即時(shí),在和上,,單調(diào)遞增；

在上,單調(diào)遞減；

又,且,

所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意

（iii）當(dāng)即時(shí),在和上,單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；又,所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是