Question

已知真命題:“函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)是奇函數(shù)”.
（Ⅰ）將函數(shù)的圖像向左平移個單位，再向上平移2個單位，求此時圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)圖像對稱中心的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求函數(shù)圖像對稱中心的坐標(biāo)；
（Ⅲ）已知命題：“函數(shù) 的圖像關(guān)于某直線成軸對稱圖像”的充要條件為“存在實數(shù)和，使得函數(shù) 是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假，如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設(shè)的真命題對它進行修改，使之成為真命題(不必證明).

Answer 1

（Ⅰ）,;（Ⅱ）;（Ⅲ）假命題, 修改后的真命題: “函數(shù)的圖像關(guān)于直線成軸對稱圖像”的充要條件是“函數(shù)是偶函數(shù)”.

解析試題分析：（Ⅰ）將向左平移個單位后得到的解析式是，然后向上平移2個單位得到，再根據(jù)題設(shè)的真命題得到圖像對稱中心的坐標(biāo)是；（Ⅱ）設(shè)則的定義域關(guān)于原點對稱，即是一個關(guān)于原點對稱的區(qū)間，則，此時，再根據(jù)求得即可得圖像對稱中心的坐標(biāo)是；（Ⅲ）舉出這個反例即可說明此命題是假命題.
試題解析：（Ⅰ）平移后圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為，
∵，，∴是奇函數(shù)，
又由題設(shè)真命題知，函數(shù)圖像對稱中心的坐標(biāo)是.
（Ⅱ）設(shè)的對稱中心為,由題設(shè)知函數(shù)是奇函數(shù).
設(shè)則，
由不等式的解集關(guān)于原點對稱,得.
此時.
任取，由，得，
所以函數(shù)圖像對稱中心的坐標(biāo)是.
（Ⅲ）此命題是假命題.
舉反例說明:函數(shù)的圖像關(guān)于直線成軸對稱圖像，但是對任意實數(shù)和，函數(shù)，即總不是偶函數(shù).
修改后的真命題: “函數(shù)的圖像關(guān)于直線成軸對稱圖像”的充要條件是“函數(shù)是偶函數(shù)”.
考點：1.三角函數(shù)的平移；2.求函數(shù)的對稱中心.