Question

【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形,∠BCD=135°,PA⊥平面ABCD,AB=AC=PA=2,E,F,M分別為線段BC,AD,PD的中點.

（1）求證:直線EF⊥平面PAC;

（2）求平面MEF與平面PBC所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）

【解析】

（1）推導(dǎo)出AB⊥AC，EF∥AB，從而EF⊥AC，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥EF，由此能證明EF⊥平面PAC.

（2）以AB，AC，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求體積出平面PBC的一個法向量，再利用向量法求二面角的正弦值.

（1）證明：在平行四邊形ABCD中，

∵AB=AC，∠BCD=135°，∴AB⊥AC，

∵E，F，M分別為線段BC，AD，PD的中點.∴EF∥AB，

∴EF⊥AC，

∵PA⊥底面ABCD，EF底面ABCD，∴PA⊥EF，

∵PA∩AC=A，∴EF⊥平面PAC.

（2）∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC兩兩垂直，

如圖所示：

以AB，AC，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，D(﹣2，2，0)，E(1，1，0)，

=(﹣2，2，0)， =(2，0，﹣2)，

設(shè)平面PBC的法向量=(x，y，z)，

則，取x=1，得=(1，1，1)，

M是PD的中點，由（1）知，AC⊥平面MEF，且=(0，2，0)，

∴|=，

∴平面MEF與平面PBC所成二面角的正弦值為.