【題目】如圖,在棱長為1的正方體中,點上移動,點上移動,,連接.

(1)證明:對任意,總有∥平面

(2)當的長度最小時,求二面角的平面角的余弦值。

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

,交于點,作,交于點,連接.通過證明四邊形為平行四邊形,可得,再根據(jù)直線與平面平行的判斷定理可證.

(2)根據(jù)題意計算得 ,再配方可得取最小值時 分別為的中點,再取 , 連接,,

可得是二面角的平面角,再計算可得.

(1)證明:如圖,作,交于點,

,交于點,連接.

由題意得,且,則四邊形為平行四邊形.

.

又∵,,

.

(2)由(1)知四邊形為平行四邊形,∴.

,∴.

,∴,.

故當時,的長度有最小值。

分別取的中點、,連接,,。

易知,,故是二面角的平面角

中,。所以.

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